Свя́зность Ве́йля, аффинная связность без кручения на римановом пространстве $M$, обобщающая связность Леви – Чивита в том смысле, что ковариантный дифференциал метрического тензора $g_{ij}$ пространства $M$ относительно неё необязательно равен нулю, но является пропорциональным самому тензору $g_{ij}$. Если аффинная связность на $M$ задана с помощью матрицы локальных форм связности

$$\left . \begin{array}{rcl} \omega^i &=& \Gamma^i_k (x) dx^k,\ \ \det|\Gamma^i_k| \ne 0 \\ \omega^i_j &=& \Gamma^i_{jk}(x) \omega^k, \end{array} \right\rbrace \tag 1$$и $ds^2= g_{ij} \omega^i \omega^j$ , то она является связностью Вейля тогда и только тогда, когда

$$dg_{ij} =g_{kj} \omega_i^k + g_{ik} \omega_j^k + \theta g_{ij}. \tag 2$$Другая, эквивалентная форма этого условия:

$$Z <X, Y>=<\nabla_Z X, Y> + <X, \nabla_Z Y> + \theta(Z) <X, Y>,$$где $\nabla_Z X$ – ковариантная производная $X$ по $Z$ – определяется формулой

$$\omega^i(\nabla_ZX)=Z\omega^i(X) + \omega_k^i(Z)\omega^k(X).$$Относительно локального поля ортонормированных реперов, где $g_{ij}=\delta_{ij}$, имеет место

$$\omega_i^j + \omega_j^I + \delta_j^i\theta = 0,$$т. е. связностью Вейля для некоторой римановой метрики на $M$ является каждая аффинная связность без кручения, группа голономии которой является группой подобий или некоторой её подгруппой.

Если в (1) $\omega^i=dx^i$, то в случае связности Вейля

$$\Gamma_{jk}^i=\frac{1}{2}g^{il}\left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k} + \frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j} - \frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right) + \frac{1}{2} g^{il}g_{jk}\theta_l - \delta_{(_j\theta_k)}^i,$$где $\theta=\theta_k dx^k$. Так как

$$g_{kj} \Omega_i^k + g_{ik} \Omega_j^k + g_{ij} d\theta=0,$$то тензор

$$F_{ij,kl}=g_{im} R_{jkl}^m + \frac{1}{2}g_{ij}(\nabla_k\theta_l - \nabla_l\theta_k),$$который называется (по Вейлю) тензором кривизны направлений, антисимметричен по обеим парам индексов:

$$F_{ij,kl} + F_{ji,kl}=0.$$Связность Вейля введена Г. Вейлем (Weyl. 1918).