Численные методы решения некорректных задач

Чи́сленные ме́тоды реше́ния некорре́ктных зада́ч, приёмы и методы решения задач, для которых не удовлетворяется хотя бы одно из приводимых ниже условий. Задача определения решения уравнения $z=R(u)$, где $z$ – элемент метрического пространства $Z$ (с расстоянием $ρ_Z$), по «исходным данным» $u$ из метрического пространства $U$ (с расстоянием $ρ_U$), называется корректно поставленной на паре пространств $(Z, U)$, если: а) для любого $u∈U$ существует решение $z∈Z$; б) решение определено однозначно; в) задача устойчива на паре $(Z, U)$, т. е. для любого $ε>0$ существует $δ(ε)>0$ такое, что для любых $u_1, u_2∈U$ из неравенства $ρ_U(u_1, u_2)⩽δ(ε)$ следует неравенство $ρ_Z(z_1, z_2)⩽ε$, где $z_1=R(u_1), z_2=R(u_2)$. Это понятие корректности принадлежит Ж. Адамару (1923), который считал, что всякая математическая задача, соответствующая какой-либо физической или технической задаче, должна быть корректной, поскольку в противном случае при сколь угодно малых изменениях исходных данных решения могут сильно отличаться, чему нельзя дать физическую интерпретацию. Однако, такая точка зрения, естественная для многих задач естествознания и техники, не может быть перенесена на все задачи. Например, неустойчивыми являются задачи дифференцирования функций, известных приближённо, численного суммирования рядов Фурье, когда их коэффициенты известны приближённо, задача Коши для уравнения Лапласа.

К некорректным задачам относится широкий класс т. н. обратных задач, возникающих в физике и технике, в частности задачи обработки результатов физических экспериментов. Пусть величина $z$ – количественная характеристика (функция, вектор) изучаемого явления (объекта), часто о величине $z$ известно, что она принадлежит некоторому подмножеству $M$ метрического пространства $Z$. В физическом эксперименте величина $z$ часто недоступна непосредственному измерению, а измеряется лишь её проявление $u=Az$. Для интерпретации результата измерения необходимо определять $z$ по $u$, т. е. решать уравнение$$Az=u.\tag 1$$Если $u∈AM$, где $AM$ – образ $M$ при его отображении с помощью оператора $A$, то решение этого уравнения есть $z=A^{–1}u$, где $A^{–1}$ – оператор, обратный оператору $A$. Так как элемент $u$ часто получают путём измерений, то он обычно бывает известен лишь приближённо; пусть $\tilde u$ – его приближенное значение. В этих условиях речь может идти лишь о нахождении приближённого (к $z$) «решения» уравнения

$$Az=\tilde u.\tag2$$Оператор $A$ во многих случаях таков, что обратный ему оператор $A^{–1}$ не является непрерывным. В этих случаях в качестве приближённого решения уравнения $(1)$ нельзя брать точное решение уравнения $(2)$, т. е. элемент, так как: а) такого решения может не существовать на $M$, поскольку может не принадлежать множеству $AM$; б) такое решение, даже если оно существует, может не обладать свойством устойчивости к малым изменениям (поскольку обратный оператор $A^{–1}$ не является непрерывным) и поэтому не может быть физически интерпретируемым. Задача $(2)$ является некорректной.

Для некорректных задач вида $(1)$, $(2)$ возникают вопросы: а) что понимается под приближённым решением таких задач? и б) каковы алгоритмы построения решений? Эти вопросы были впервые рассмотрены А. Н. Тихоновым (1963).

Метод подбора

В некоторых случаях приближённые решения уравнения (1) находятся методом подбора. Он состоит в том, что из множества $M$ возможных решений, $M⊂Z$, выбирают элемент $\tilde z$, для которого $A\tilde z$ приближает правую часть уравнения $(1)$ с заданной точностью, и в качестве искомого приближения берут элемент $\tilde z$. Этот метод применим, когда из неравенства $ρ_U(A\tilde z, Az)⩽δ$ следует, что $ρ_Z(\tilde z, z) ⩽ε (δ)$, где $ε(δ )→ 0$ при $δ→ 0$. Это имеет место при условии однозначной разрешимости уравнения $(1)$ и при условии, что множество $M$ – компакт. На основе этих условий вводится понятие корректности по Тихонову, называемое также условной корректностью. В применении к уравнению $(1)$ задача называется корректной по Тихонову, если известно, что для точного значения $u$ правой части существует единственное решение $z$ уравнения $(1)$, принадлежащее заданному компакту $M$. В этом случае оператор $A^{–1}$ непрерывен на множестве $M$ и если вместо элемента $u$ известен элемент $u_δ$ такой, что $r_U(u_δ, u)⩽δ$ и $u_δ∈AM$, то в качестве приближённого решения уравнения $(1)$ с правой частью $u=u_δ$ можно брать элемент $z_δ=A^{–1}u_δ$. При этом $z_δ→z$, если $δ→0$.

Во многих случаях приближённо известная часть $\tilde u$ уравнения $(2)$ не принадлежит множеству $AM$. В этих условиях уравнение $(2)$ не имеет классического решения и в качестве его приближённого решения берётся обобщённое решение, называемое квазирешением. Элемент $\tilde z∈М$, минимизирующий при данном $\tilde u$ функционал $ρ_U(Az, \tilde u)$ на множестве $M$, называется квазирешением уравнения $(2)$ на $M$. Если $M$ – компакт, то квазирешение существует для любого $\tilde u∈U$, а если $\tilde u∈AM$, то квазирешение $\tilde z$ совпадает с классическим (точным) решением уравнения $(2)$. Существование квазирешения гарантируется лишь при условии компактности множества $M$ возможных решений.

Метод регуляризации

Для ряда прикладных задач, приводящих к уравнению $(1)$, характерна ситуация, когда множество $M$ возможных решений не является компактом, оператор $A^{–1}$ не является непрерывным на $AM$ и изменения правой части этого уравнения, связанные с её приближённым характером, могут выводить её за пределы множества $AM$. Такие задачи называются существенно некорректными. Разработан подход к решению таких задач, называемый методом регуляризации. В дальнейшем для простоты предполагается, что приближённой является лишь правая часть уравнения $(1)$. В основе подхода лежит понятие регуляризирующего оператора. Оператор $R(u, α)$ из $U$ в $Z$, зависящий от параметра $α$, называется регуляризирующим оператором для уравнения $Az= u$ (в окрестности точки $u$), если он обладает свойствами: 1) существует такое число $δ_1>0$, что оператор $R(u, α)$ определён для любого $α>0$ и любого $u_δ∈U$, для которого $ρ_U(u_δ, u)⩽δ⩽δ_1$; 2) существует функция $α=α(δ)$ такая, что для любого $ε> 0$ найдётся число $δ(ε)⩽δ_1$ такое, что если $u_δ∈U$ и $ρ_U(u_δ , u)⩽δ (ε )$, то $ρ_Z(z_δ , z)⩽ε$, где $z_δ=R(u_δ , α (δ ))$. В этом определении не предполагается однозначности оператора $R(u, α)$.

Если $ρ_U(u_δ , u)⩽δ$, то в качестве приближённого решения уравнения $(1)$ с правой частью $u_δ$ можно брать элемент$z_{α(δ)}=R(u_δ, α(δ))$, где $α(δ)$ согласовано с погрешностью исходных данных $u_δ$. Это решение называется регуляризированным решением уравнения $Az=u_δ$, а параметр $α$ называется параметром регуляризации. При $δ→0$ регуляризированное решение сходится к решению уравнения $(1)$. Т. о., задача нахождения приближенных решений уравнения $(1)$ сводится к нахождению регуляризирующего оператора и к определению параметра регуляризации по дополнительной информации о задаче, например, по оценке погрешности $δ$, с которой задаётся правая часть $(1)$.

В основе построения регуляризирующих операторов лежат различные принципы, среди них – вариационный, при котором используется сглаживающий функционал

$M^α(z, A, u)=ρ^2_U(Az, u) + \alpha\Omega(z),$где $α>0$ – параметр регуляризации, а $Ω$ – регуляризирующий функционал, предназначенный для стабилизации решения. Он выбирается так, чтобы множества $\left \{z: Ω(z)⩽c \right\}$ при всех $с>0$ были компактными в пространстве $Z$. Ищется элемент $z_α$, минимизирующий $M^α$ на множестве возможных решений. Параметр $α$ находится по дополнительной информации о задаче.