Научные методы исследования

Численные методы решения некорректных задач

Чи́сленные ме́тоды реше́ния некорре́ктных зада́ч, приёмы и методы решения задач, для которых не удовлетворяется хотя бы одно из приводимых ниже условий. Задача определения решения уравнения z=R(u)z=R(u), где zz – элемент ZZ (с расстоянием ρZρ_Z), по «исходным данным» uu из метрического пространства UU (с расстоянием ρUρ_U), называется корректно поставленной на паре пространств (Z,U)(Z, U), если: а) для любого uUu∈U существует решение zZz∈Z; б) решение определено однозначно; в) задача устойчива на паре (Z,U)(Z, U), т. е. для любого ε>0ε>0 существует δ(ε)>0δ(ε)>0 такое, что для любых u1,u2Uu_1, u_2∈U из неравенства ρU(u1,u2)δ(ε)ρ_U(u_1, u_2)⩽δ(ε) следует неравенство ρZ(z1,z2)ερ_Z(z_1, z_2)⩽ε, где z1=R(u1),z2=R(u2)z_1=R(u_1), z_2=R(u_2). Это понятие корректности принадлежит (1923), который считал, что всякая математическая задача, соответствующая какой-либо физической или технической задаче, должна быть корректной, поскольку в противном случае при сколь угодно малых изменениях исходных данных решения могут сильно отличаться, чему нельзя дать физическую интерпретацию. Однако, такая точка зрения, естественная для многих задач естествознания и техники, не может быть перенесена на все задачи. Например, неустойчивыми являются задачи дифференцирования функций, известных приближённо, численного суммирования , когда их коэффициенты известны приближённо, для .

К некорректным задачам относится широкий класс т. н. обратных задач, возникающих в физике и технике, в частности задачи обработки результатов физических экспериментов. Пусть величина zz – количественная характеристика (функция, вектор) изучаемого явления (объекта), часто о величине zz известно, что она принадлежит некоторому подмножеству MM метрического пространства ZZ. В физическом эксперименте величина zz часто недоступна непосредственному измерению, а измеряется лишь её проявление u=Azu=Az. Для интерпретации результата измерения необходимо определять zz по uu, т. е. решать уравнениеAz=u.(1)Az=u.\tag 1Если uAMu∈AM, где AMAM – образ MM при его отображении с помощью AA, то решение этого уравнения есть z=A1uz=A^{–1}u, где A1A^{–1} – оператор, обратный оператору AA. Так как элемент uu часто получают путём измерений, то он обычно бывает известен лишь приближённо; пусть u~\tilde u – его приближенное значение. В этих условиях речь может идти лишь о нахождении приближённого (к zz) «решения» уравнения

Az=u~.(2)Az=\tilde u.\tag2Оператор AA во многих случаях таков, что обратный ему оператор A1A^{–1} не является непрерывным. В этих случаях в качестве приближённого решения уравнения (1)(1) нельзя брать точное решение уравнения (2)(2), т. е. элемент, так как: а) такого решения может не существовать на MM, поскольку может не принадлежать множеству AMAM; б) такое решение, даже если оно существует, может не обладать свойством устойчивости к малым изменениям (поскольку обратный оператор A1A^{–1} не является непрерывным) и поэтому не может быть физически интерпретируемым. Задача (2)(2) является некорректной.

Для некорректных задач вида (1)(1), (2)(2) возникают вопросы: а) что понимается под приближённым решением таких задач? и б) каковы алгоритмы построения решений? Эти вопросы были впервые рассмотрены (1963).

Метод подбора

В некоторых случаях приближённые решения уравнения (1) находятся методом подбора. Он состоит в том, что из множества MM возможных решений, MZM⊂Z, выбирают элемент z~\tilde z, для которого Az~A\tilde z приближает правую часть уравнения (1)(1) с заданной точностью, и в качестве искомого приближения берут элемент z~\tilde z. Этот метод применим, когда из неравенства ρU(Az~,Az)δρ_U(A\tilde z, Az)⩽δ следует, что ρZ(z~,z)ε(δ)ρ_Z(\tilde z, z) ⩽ε (δ), где ε(δ)0ε(δ )→ 0 при δ0δ→ 0. Это имеет место при условии однозначной разрешимости уравнения (1)(1) и при условии, что MM. На основе этих условий вводится понятие корректности по Тихонову, называемое также условной корректностью. В применении к уравнению (1)(1) задача называется корректной по Тихонову, если известно, что для точного значения uu правой части существует единственное решение zz уравнения (1)(1), принадлежащее заданному компакту MM. В этом случае оператор A1A^{–1} непрерывен на множестве MM и если вместо элемента uu известен элемент uδu_δ такой, что rU(uδ,u)δr_U(u_δ, u)⩽δ и uδAMu_δ∈AM, то в качестве приближённого решения уравнения (1)(1) с правой частью u=uδu=u_δ можно брать элемент zδ=A1uδz_δ=A^{–1}u_δ. При этом zδzz_δ→z, если δ0δ→0.

Во многих случаях приближённо известная часть u~\tilde u уравнения (2)(2) не принадлежит множеству AMAM. В этих условиях уравнение (2)(2) не имеет классического решения и в качестве его приближённого решения берётся обобщённое решение, называемое квазирешением. Элемент z~М\tilde z∈М, минимизирующий при данном u~\tilde u ρU(Az,u~)ρ_U(Az, \tilde u) на множестве MM, называется квазирешением уравнения (2)(2) на MM. Если MM – компакт, то квазирешение существует для любого u~U\tilde u∈U, а если u~AM\tilde u∈AM, то квазирешение z~\tilde z совпадает с классическим (точным) решением уравнения (2)(2). Существование квазирешения гарантируется лишь при условии компактности множества MM возможных решений.

Метод регуляризации

Для ряда прикладных задач, приводящих к уравнению (1)(1), характерна ситуация, когда множество MM возможных решений не является компактом, оператор A1A^{–1} не является непрерывным на AMAM и изменения правой части этого уравнения, связанные с её приближённым характером, могут выводить её за пределы множества AMAM. Такие задачи называются существенно некорректными. Разработан подход к решению таких задач, называемый методом регуляризации. В дальнейшем для простоты предполагается, что приближённой является лишь правая часть уравнения (1)(1). В основе подхода лежит понятие регуляризирующего оператора. Оператор R(u,α)R(u, α) из UU в ZZ, зависящий от αα, называется регуляризирующим оператором для уравнения Az=uAz= u (в окрестности точки uu), если он обладает свойствами: 1) существует такое число δ1>0δ_1>0, что оператор R(u,α)R(u, α) определён для любого α>0α>0 и любого uδUu_δ∈U, для которого ρU(uδ,u)δδ1ρ_U(u_δ, u)⩽δ⩽δ_1; 2) существует функция α=α(δ)α=α(δ) такая, что для любого ε>0ε> 0 найдётся число δ(ε)δ1δ(ε)⩽δ_1 такое, что если uδUu_δ∈U и ρU(uδ,u)δ(ε)ρ_U(u_δ , u)⩽δ (ε ), то ρZ(zδ,z)ερ_Z(z_δ , z)⩽ε, где zδ=R(uδ,α(δ))z_δ=R(u_δ , α (δ )). В этом определении не предполагается однозначности оператора R(u,α)R(u, α).

Если ρU(uδ,u)δρ_U(u_δ , u)⩽δ, то в качестве приближённого решения уравнения (1)(1) с правой частью uδu_δ можно брать элементzα(δ)=R(uδ,α(δ)) z_{α(δ)}=R(u_δ, α(δ)), где α(δ)α(δ) согласовано с исходных данных uδu_δ. Это решение называется регуляризированным решением уравнения Az=uδAz=u_δ, а параметр αα называется параметром регуляризации. При δ0δ→0 регуляризированное решение сходится к решению уравнения (1)(1). Т. о., задача нахождения приближенных решений уравнения (1)(1) сводится к нахождению регуляризирующего оператора и к определению параметра регуляризации по дополнительной информации о задаче, например, по оценке погрешности δδ, с которой задаётся правая часть (1)(1).

В основе построения регуляризирующих операторов лежат различные принципы, среди них – вариационный, при котором используется сглаживающий функционал

Mα(z,A,u)=ρU2(Az,u)+αΩ(z),M^α(z, A, u)=ρ^2_U(Az, u) + \alpha\Omega(z),где α>0α>0 – параметр регуляризации, а ΩΩ – регуляризирующий функционал, предназначенный для стабилизации решения. Он выбирается так, чтобы множества {z:Ω(z)c}\left \{z: Ω(z)⩽c \right\} при всех с>0с>0 были компактными в пространстве ZZ. Ищется элемент zαz_α, минимизирующий MαM^α на множестве возможных решений. Параметр αα находится по дополнительной информации о задаче.

Редакция математических наук
  • Некорректные задачи
  • Приближённые решения