Ядро Фредгольма

Ядро́ Фре́дгольма, (1) функция ${\displaystyle K(x,y)}$, определённая на ${\displaystyle \Omega \times \Omega }$ и порождающая вполне непрерывный оператор

${\displaystyle K\varphi \equiv \int _{\Omega }K(x,y)\varphi (y)\,dy:E\rightarrow E_{1},}$ (*)

где ${\displaystyle \Omega }$ – измеримое множество в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве, а ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle E_{1}}$ – некоторые функциональные пространства. Оператор (*) называется интегральным оператором Фредгольма из ${\displaystyle E}$ в ${\displaystyle E_{1}}$. Важным классом ядер Фредгольма являются измеримые на ${\displaystyle \Omega \times \Omega }$ функции ${\displaystyle K(x,y)}$ такие, что

${\displaystyle \int _{\Omega }\int _{\Omega }\mid K(x,y)\mid ^{2}\,dx\,dy<+\infty }$.

Ядро Фредгольма , удовлетворяющее этому условию, называется также ${\displaystyle L_{2}}$-ядром.

Ядро Фредгольма называется вырожденным, если оно представляет сумму произведений функций только от ${\displaystyle x}$ на функции только от ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle K(x,y)=\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}(x)\beta _{k}(y)}$.

Если для почти всех ${\displaystyle (x,y)\in \Omega \times \Omega }$ имеет место равенство ${\displaystyle K(x,y)=K(y,x)}$, то ядро Фредгольма называется симметричным, а если ${\displaystyle {\overline {K(x,y)}}=K(y,x)}$ – эрмитово симметричным (здесь черта означает переход к комплексно сопряжённому значению). Ядро Фредгольма ${\displaystyle K(x,y)}$ называется кососимметричным, если ${\displaystyle {\overline {K(x,y)}}=-K(y,x)}$.

Ядра Фредгольма ${\displaystyle K(x,y)}$ и ${\displaystyle K(y,x)}$ называется транспонированными или союзными, а ядра ${\displaystyle K(x,y)}$ и ${\displaystyle {\overline {K(y,x)}}}$ – сопряжёнными.

(2) Ядро Фредгольма – двухвалентный тензор, порождающий оператор Фредгольма. Пусть ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ – локально выпуклые пространства, ${\displaystyle E{\overline {\otimes }}F}$ – пополнение тензорного произведения ${\displaystyle E\otimes F}$ этих пространств в индуктивной топологии, т. е. в самой сильной локально выпуклой топологии, при которой непрерывно каноническое билинейное отображение ${\displaystyle E\times F\rightarrow E\otimes F}$. Элемент ${\displaystyle u\in E{\overline {\otimes }}F}$ называется ядром Фредгольма, если он может быть представлен в виде

${\displaystyle u=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}e_{i}\otimes f_{i}}$,

где ${\displaystyle \left\{\lambda _{i}\right\}}$ – суммируемая числовая последовательность, a ${\displaystyle \left\{e_{i}\right\}}$ и ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}}$ – последовательности элементов некоторых полных выпуклых закруглённых ограниченных множеств в ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ соответственно. Пусть ${\displaystyle E}$ совпадает с сопряжённым пространством ${\displaystyle G^{\prime }}$ к некоторому локально выпуклому пространству ${\displaystyle G}$. Тогда ядро Фредгольма порождает оператор Фредгольма ${\displaystyle A:G\rightarrow F}$, имеющий вид

${\displaystyle x\longmapsto \sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,e_{i}\right\rangle f_{i}}$,

где ${\displaystyle \left\langle x,\rho _{i}\right\rangle }$ – значение функционала ${\displaystyle e_{i}\in G^{\prime }}$ на элементе ${\displaystyle x\in G}$. Если ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ – банаховы пространства, то любой элемент из ${\displaystyle E{\overline {\otimes }}F}$ является ядром Фредгольма.

Понятие ядра Фредгольма допускает обобщение и на случай тензорного произведения нескольких локально выпуклых пространств. Ядро Фредгольма и операторы Фредгольма составляют естественную область применения теории Фредгольма.