Тензор

Те́нзор на векторном пространстве ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle k}$, элемент ${\displaystyle t}$ векторного пространства

${\displaystyle T^{p,q}(V)=({\stackrel {p}{\otimes }}V)\otimes \left({\stackrel {p}{\otimes }}V^{*}\right)}$,

где ${\displaystyle V^{*}=\operatorname {Hom} (V,k)}$ – пространство, сопряжённое с ${\displaystyle V}$. Говорят, что тензор ${\displaystyle t}$ является ${\displaystyle p}$ раз контравариантным и ${\displaystyle q}$ раз ковариантным или что ${\displaystyle t}$ имеет тип ${\displaystyle (p,q)}$. Число ${\displaystyle p}$ называется контравариантной валентностью, ${\displaystyle q}$ – ковариантной валентностью, а число ${\displaystyle p+q}$ – общей валентностью тензора ${\displaystyle t}$. Пространство ${\displaystyle T^{0,0}(V)}$ отождествляется с ${\displaystyle k}$. Тензоры типа ${\displaystyle (p,0)}$ называются контравариантными, типа ${\displaystyle (0,q)}$ – ковариантными, а остальные – смешанными.

Примеры тензоров:
1. Вектор пространства ${\displaystyle V}$ [тензор типа (1,0)].

2. Ковектор пространства ${\displaystyle V}$ [тензор типа (0,1)].

3. Каждый ковариантный тензор

${\displaystyle t=\sum _{i=1}^{s}h_{i1}\otimes \ldots \otimes h_{iq}}$,

где ${\displaystyle h_{ij}\in V^{*}}$, определяет ${\displaystyle q}$-линейную форму ${\displaystyle {\hat {t}}}$ на ${\displaystyle V}$ по формуле

${\displaystyle {\hat {t}}\left(x_{1},\ldots ,x_{q}\right)=\sum _{i=1}^{s}h_{i1}\left(x_{1}\right)\ldots h_{iq}\left(x_{q}\right);}$

отображение ${\displaystyle t\longmapsto {\hat {t}}}$ пространства ${\displaystyle T^{0,q}}$ в пространство ${\displaystyle L^{q}(V)}$ всех ${\displaystyle q}$-линейных форм на ${\displaystyle V}$ линейно и инъективно; если ${\displaystyle \operatorname {dim} V<\infty }$, то это отображение является изоморфизмом, так что любая ${\displaystyle q}$-линейная форма отвечает некоторому тензору типа ${\displaystyle (0,q)}$.

4. Аналогично, каждый контравариантный тензор из ${\displaystyle T^{p,0}(V)}$ определяет некоторую ${\displaystyle p}$-линейную форму на ${\displaystyle V^{*}}$, а если ${\displaystyle V}$ конечномерно, то верно и обратное.

5. Каждый тензор

${\displaystyle t=\sum _{i=1}^{s}x_{i}\otimes h_{i}\in T^{1,1}(V)}$,

где ${\displaystyle x_{i}\in V}$, ${\displaystyle h_{i}\in V^{*}}$, определяет линейное преобразование ${\displaystyle {\hat {t}}}$ пространства ${\displaystyle V}$, заданное формулой

${\displaystyle {\hat {t}}(y)=\sum _{i=1}^{s}h_{i}(y)x_{i};}$

если ${\displaystyle \operatorname {dim} V<\infty }$, то любое линейное преобразование пространства ${\displaystyle V}$ определяется тензором типа ${\displaystyle (1,1)}$.

6. Аналогично, любой тензор типа ${\displaystyle (1,2)}$ определяет в ${\displaystyle V}$ билинейную операцию, т. е. структуру ${\displaystyle k}$-алгебры; при этом, если ${\displaystyle \operatorname {dim} V<\infty }$, то любая структура ${\displaystyle k}$-алгебры в ${\displaystyle V}$ определяется некоторым тензором типа ${\displaystyle (1,2)}$, который называется структурным тензором алгебры.

Пусть ${\displaystyle V}$ конечномерно и ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ – его базис, ${\displaystyle v^{1},\ldots ,v^{n}}$ – сопряжённый базис пространства ${\displaystyle V^{*}}$. Тогда тензоры

${\displaystyle v_{i_{1}\ldots i_{p}}^{j_{1}\ldots j_{q}}=v_{i_{1}}\otimes \ldots \otimes v_{i_{p}}\otimes v^{j_{1}}\otimes \ldots \otimes v^{j_{q}}}$

составляют базис пространства ${\displaystyle T^{p,q}(V)}$. Координаты ${\displaystyle t_{j_{1}\ldots j_{q}}^{i_{1}\ldots i_{p}}}$ тензора ${\displaystyle t\in T^{p,q}(V)}$ в этом базисе называются также координатами тензора ${\displaystyle t}$ в базисе ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ пространства ${\displaystyle V}$. Например, координаты вектора и ковектора совпадают с их обычными координатами в базисах ${\displaystyle \left(v_{i}\right)}$ и ${\displaystyle \left(v^{j}\right)}$, координаты тензора типа ${\displaystyle (0,2)}$ совпадают c элементами матрицы соответствующей билинейной формы, координаты тензора типа – с элементами матрицы соответствующего линейного преобразования, координаты структурного тензора алгебры – с её структурными константами. Если ${\displaystyle {\tilde {v}}_{1},\ldots ,{\tilde {v}}_{n}}$ – другой базис пространства ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle {\tilde {v}}_{j}=a_{j}^{i}v_{i}}$, ${\displaystyle \left\|b_{j}^{i}\right\|=\left(\left\|a_{j}^{i}\right\|^{\top }\right)^{-1}}$, то координаты ${\displaystyle t_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}}$тензора ${\displaystyle t}$ в этом базисе определяются по формулам

${\displaystyle {\tilde {t}}_{j_{1}\ldots j_{q}}^{i_{1}\ldots i_{p}}=b_{k_{1}}^{i_{1}}\ldots b_{k_{p}}^{i_{p}}a_{j_{1}}^{l_{1}}\ldots a_{j_{q}}^{l_{q}}t_{l_{1}\ldots l_{q}}^{k_{1}\ldots k_{p}}.}$ (1)

Здесь, как это часто делается в тензорном исчислении, применимо правило суммирования Эйнштейна: по каждой паре одинаковых индексов, один из которых верхний, а другой нижний, подразумевается суммирование от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle n}$. Обратно, если система ${\displaystyle n^{p+q}}$ элементов поля ${\displaystyle k}$, зависящая от базиса пространства ${\displaystyle V}$, изменяется при переходе от базиса к базису по формулам ${\displaystyle (1)}$, то эта система является набором координат некоторого тензора типа ${\displaystyle (p,q)}$.

В векторном пространстве ${\displaystyle T^{p,q}(V)}$ определены операции сложения тензоров и умножения тензора на скаляр из ${\displaystyle k}$. При этих операциях соответствующие координаты тензора складываются или умножаются на скаляр. Определена также операция умножения тензоров разных типов, которая вводится следующим образом. Имеет место естественный изоморфизм векторных пространств

${\displaystyle T^{p,q}(V)\otimes T^{r,s}(V)\cong T^{p+r,q+s}(V)}$,

переводящий

${\displaystyle {\begin{array}{r}\left(x_{1}\otimes \ldots \otimes x_{p}\otimes h_{1}\otimes \ldots \otimes h_{q}\right)\otimes \left(x_{1}^{\prime }\otimes \ldots \otimes x_{r}^{\prime }\otimes h_{1}^{\prime }\otimes \ldots \otimes h_{s}\right)\end{array}}}$

в

${\displaystyle {\begin{array}{r}x_{1}\otimes \ldots \otimes x_{p}\otimes x_{1}^{\prime }\otimes \ldots \otimes x_{r}^{\prime }\otimes h_{1}\otimes \ldots \otimes h_{q}\otimes h_{1}^{\prime }\otimes \ldots \otimes h_{s}^{\prime }.\end{array}}}$

Поэтому для любых ${\displaystyle t\in T^{p,q}(V)}$ и ${\displaystyle u\in T^{r,s}(V)}$ элемент ${\displaystyle v=t\otimes u}$ может рассматриваться как тензор типа ${\displaystyle (p+r,q+s)}$, который и называется произведением тензоров ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle u}$. Координаты произведения вычисляются по формуле

${\displaystyle v_{j_{1}\ldots j_{q+s}}^{i_{1}\ldots i_{p+r}}=t_{j_{1}\ldots j_{q}}^{i_{1}\ldots i_{pr}}u_{j_{q+1}\ldots j_{q+s}}^{i_{p+1}\ldots i_{p+r}}}$.

Пусть ${\displaystyle p>0}$, ${\displaystyle q>0}$ и пусть фиксированы числа ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$, где ${\displaystyle 1\leqslant \alpha \leqslant p}$, ${\displaystyle 1\leqslant \beta \leqslant q}$. Тогда определено линейное отображение ${\displaystyle Y_{\beta }^{\alpha }:T^{p,q}(V)\rightarrow T^{p-1,q-1}(V)}$ такое, что

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\beta }^{\alpha }\left(x_{1}\otimes \ldots \otimes x_{p}\otimes h_{1}\otimes \ldots \otimes h_{q}\right)=\\=h_{\beta }\left(x_{\alpha }\right)x_{1}\otimes \ldots \otimes x_{\alpha -1}\otimes x_{\alpha +1}\otimes \ldots \otimes x_{p}\otimes \\\otimes h_{1}\otimes \ldots \otimes h_{\beta -1}\otimes h_{\beta +1}\otimes \ldots \otimes h_{q}.\end{aligned}}}$

Оно называется свёртыванием (или свёрткой) по ${\displaystyle \alpha }$-му контравариантному и ${\displaystyle \beta }$-му ковариантному индексам. В координатах свёртка записывается формулами

${\displaystyle \left(Y_{\beta }^{\alpha _{t}}\right)_{j_{1}\ldots j_{q-1}}^{i_{1}\ldots i_{p-1}}=t_{j_{1}\ldots j_{\beta -1}ij_{beta+1}\ldots j_{q}}^{i_{1}\ldots i_{\alpha -1}ii_{\alpha +1}\ldots i_{p}}}$.

Например, свёртка ${\displaystyle Y_{1}^{1}t}$ тензоров типа ${\displaystyle (1,1)}$ есть след соответствующего линейного преобразования.

Аналогично определяются тензор на произвольном унитарном модуле ${\displaystyle V}$ над коммутативно-ассоциативным кольцом с единицей. Перечисленные выше примеры и свойства тензоров переносятся с соответствующими изменениями на этот случай, причём иногда надо предполагать, что ${\displaystyle V}$– свободный или конечно порождённый свободный модуль.

Пусть в конечномерном векторном пространстве над полем ${\displaystyle k}$ фиксирована невырожденная билинейная форма ${\displaystyle g}$ (например, ${\displaystyle V}$ – евклидово или псевдоевклидово пространство над ${\displaystyle R}$); форму ${\displaystyle g}$ называют в этом случае метрическим тензором. Метрический тензор определяет изоморфизм ${\displaystyle \gamma :V\rightarrow V^{*}}$ по формуле

${\displaystyle \gamma (x)(y)=g(x,y),\quad x,y\in V}$.

Пусть ${\displaystyle p>0}$ и пусть фиксирован индекс ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle 1\leqslant \alpha \leqslant p}$. Тогда формула

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}\otimes \ldots \otimes x_{p}\otimes h_{1}\otimes \ldots \otimes h_{q}\mapsto \\\mapsto x_{1}\otimes \ldots \otimes x_{\alpha -1}\otimes x_{\alpha +1}\otimes \ldots \otimes x_{p}\otimes \\\otimes \gamma \left(x_{\alpha }\right)\otimes h_{1}\otimes \ldots \otimes h_{q}\end{aligned}}}$

определяет изоморфизм ${\displaystyle \gamma ^{\alpha }:T^{p,q}(V)\rightarrow T^{p-1,q+1}(V)}$, называемый опусканием ${\displaystyle \alpha }$-го контравариантного индекса. Иначе:

${\displaystyle \gamma ^{\alpha }(t)=Y_{1}^{\alpha }(g\otimes t)}$.

В координатах опускание индекса имеет вид

${\displaystyle \gamma ^{\alpha }(t)_{j_{1}\ldots i_{q+1}}^{i_{1}\ldots i_{p-1}}=g_{ij_{1}}t_{j_{2}\ldots j_{q+1}}^{i_{1}\ldots i_{\alpha -1}ii_{\alpha +1}\ldots i_{p-1}}}$.

Аналогично определяется изоморфизм подъёма ${\displaystyle \beta }$-го ковариантного индекса (${\displaystyle 1\leqslant \beta \leqslant q}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\beta }:&x_{1}\otimes \ldots \otimes x_{p}\otimes h_{1}\otimes \ldots \otimes h_{q}\mapsto \\&\mapsto x_{1}\otimes \ldots \otimes x_{p}\otimes \gamma ^{-1}\left(h_{\beta }\right)\otimes \\\otimes &h_{1}\otimes \ldots \otimes h_{\beta -1}\otimes h_{\beta +1}\otimes \ldots \otimes h_{q},\end{aligned}}}$

отображающий ${\displaystyle T^{p,q}(V)}$ на ${\displaystyle T^{p+1,q-1}(V)}$. В координатах подъём индекса записывается формулой

${\displaystyle \gamma _{\beta }(t)_{j_{1}\ldots j_{q-1}}^{i_{1}\ldots i_{p+1}}=g^{ji_{p+1}}t_{j_{1}\ldots j_{\beta -1}jj_{\beta }\ldots j_{q-1}}^{i_{1}\ldots i_{p}}}$,

где ${\displaystyle \left\|g^{kl}\right\|=\left(\left\|g_{ij}\right\|^{\top }\right)^{-1}}$. В частности, подъём сначала 1-го, а потом и оставшегося ковариантного индекса метрического тензора ${\displaystyle g}$ приводит к тензору типа ${\displaystyle (2,0)}$ с координатами ${\displaystyle g^{kl}}$ (контравариантный метрический тензор). Иногда опущенный (поднятый) индекс не передвигают на первое (последнее) место, а пишут на том же месте в нижней (верхней) группе индексов, ставя на образовавшемся пустом месте точку. Например, для ${\displaystyle t\in T^{2,0}(V)}$ координаты тензора ${\displaystyle \gamma ^{2}(t)}$ записывают в виде ${\displaystyle t_{j}^{i\cdot }=g_{kj}t^{ik}}$.

Любое линейное отображение ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$ векторных пространств над ${\displaystyle k}$ естественным образом определяет линейные отображения

${\displaystyle T^{p,0}(f)={\stackrel {p}{\bigotimes }}f:T^{p,0}(V)\rightarrow T^{p,0}(W)}$

и

${\displaystyle T^{q,0}\left(f^{*}\right)=={\stackrel {q}{\bigotimes }}f^{*}:T^{0,q}(W)\rightarrow T^{0,q}(V)}$.

Если ${\displaystyle f}$ – изоморфизм, то определяется также линейное отображение

${\displaystyle T^{p,q}(f):T^{p,q}(V)\rightarrow T^{p,q}(W)}$,

причём ${\displaystyle T^{0,q}(f)=T^{q,0}\left(f^{*}\right)^{-1}}$. Соответствие ${\displaystyle f\longmapsto T^{p,q}(f)}$ обладает функториальными свойствами. B частности, оно определяет линейное представление ${\displaystyle a\longmapsto T^{p,q}(a)}$ группы ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ в пространстве ${\displaystyle T^{p,q}(V)}$ (тензорное представление).