Измеримое множество

Измери́мое мно́жество, подмножество измеримого пространства ${\displaystyle (X,A)}$, принадлежащее кольцу или ${\displaystyle \sigma }$-кольцу ${\displaystyle A}$ его подмножеств. Понятие возникло и развивалось в процессе решения и обобщения проблемы измерения площадей (длин, объёмов) различных множеств, т. е. проблемы продолжения площади (длины, объёма) как аддитивной функции многоугольников (отрезков, многогранников) на более широкую систему множеств. Измеримое множество определялось как множество той системы, на которую осуществлено продолжение; последнее называлось мерой. Так были определены мера Жордана, мера Бореля и мера Лебега с множествами, измеримыми соответственно по Жордану, Борелю и Лебегу. Решение задачи продолжения произвольной фиксированной меры в ${\displaystyle R^{n}}$ привело к мере Радона (мере Лебега – Стилтьеса) и множествам, измеримым по данной мере Радона (Лебега – Стилтьеса). Измеримые множества, связанные с мерой, определённой в абстрактном множестве, – это множества, на которых определена рассматриваемая мера.