Вполне непрерывный оператор

Вполне́ непреры́вный опера́тор (вполне непрерывное отображение), непрерывный оператор ${\displaystyle f}$, действующий из одного банахова пространства ${\displaystyle X}$ в другое пространство ${\displaystyle Y}$ и переводящий слабо сходящуюся в ${\displaystyle X}$ последовательность в последовательность, сходящуюся по норме в ${\displaystyle Y}$. При этом предполагается сепарабельность пространства ${\displaystyle X}$ (для ${\displaystyle Y}$ это требование необязательно; впрочем, область значений вполне непрерывного оператора всегда сепарабельна). Другими словами, оператор ${\displaystyle f}$ вполне непрерывен, если он отображает произвольное ограниченное подмножество пространства ${\displaystyle X}$ в компактное подмножество пространства ${\displaystyle Y}$. Класс вполне непрерывных операторов является важнейшим подклассом совокупности компактных операторов, содержащим, в частности, все компактные аддитивные операторы.

Определение (линейных) вполне непрерывных операторов и простейшие их свойства были в 1904–1906 гг. высказаны Д. Гильбертом (1912) для пространств ${\displaystyle l_{2}}$ и ${\displaystyle L_{2}}$ (см. Гильбертово пространство) и Ф. Риссом (1907) (определение через компактность), a в общем случае – С. Банахом (1932) (определение через последовательности). Термин «компактный оператор» становится более употребительным в связи с использованием более общих, чем банаховы, топологических векторныхВекторное пространствопространств.