Билинейное отображение

Билине́йное отображе́ние (билинейная функция), отображение ${\displaystyle f}$ произведения ${\displaystyle V\times W}$ левого унитарного ${\displaystyle A}$-модуля ${\displaystyle V}$ и правого унитарного ${\displaystyle B}$-модуля ${\displaystyle W}$ в ${\displaystyle (A,B)}$-бимодуль ${\displaystyle H}$, удовлетворяющее следующим условиям:

${\displaystyle }$
${\displaystyle f\left(v+v^{\prime },w\right)=f(v,w)+f\left(v^{\prime },w\right);}$
${\displaystyle f\left(v,w+w^{\prime }\right)=f(v,w)+f\left(v,w^{\prime }\right);}$
${\displaystyle f(av,w)=af(v,w);}$
${\displaystyle f(v,wb)=f(v,w)b;}$
${\displaystyle }$

здесь ${\displaystyle v,v^{\prime }\in V}$, ${\displaystyle w,w^{\prime }\in W}$, ${\displaystyle a\in A}$, ${\displaystyle b\in B}$ – произвольно выбранные элементы, ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ – кольца с единицей. Тензорное произведение ${\displaystyle V\otimes W}$ над ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ имеет естественную структуру ${\displaystyle (A,B)}$-бимодуля. Пусть ${\displaystyle \varphi :V\times W\rightarrow V\otimes W}$ – каноническое отображение, тогда любое билинейное отображение ${\displaystyle f}$ индуцирует гомоморфизм ${\displaystyle (A,B)}$-бимодулей ${\displaystyle {\tilde {f}}:V\otimes W\rightarrow H}$, для которого ${\displaystyle f={\tilde {f}}\circ \varphi }$. Если ${\displaystyle A=B}$ и коммутативно, то множество ${\displaystyle L^{2}(V,W,H)}$ всех билинейных отображений ${\displaystyle V\times W\rightarrow H}$ является ${\displaystyle A}$-модулем относительно обычным образом определяемых операций сложения и умножения на элементы из ${\displaystyle A}$, а соответствие ${\displaystyle f\rightarrow {\tilde {f}}}$ устанавливает канонический изоморфизм ${\displaystyle A}$-модуля ${\displaystyle L^{2}(V,W,H)}$ и ${\displaystyle {A}}$-модуля ${\displaystyle L(V\otimes W,H)}$ всех ${\displaystyle A}$-линейных отображений ${\displaystyle V\otimes W}$ в ${\displaystyle H}$.

Пусть ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle W}$ – свободные модули с базисами ${\displaystyle v_{i}}$, ${\displaystyle i\in I}$, и ${\displaystyle w_{j}}$, ${\displaystyle j\in J}$, соответственно. Билинейное отображение ${\displaystyle f}$ полностью определяется заданием${\displaystyle f\left(v_{i},w_{j}\right)}$ для всех ${\displaystyle i\in I}$, ${\displaystyle j\in J}$, поскольку для любых конечных подмножеств ${\displaystyle I^{\prime }\subset I}$, ${\displaystyle J^{\prime }\subset J}$ имеет место формула

${\displaystyle f{\biggl (}\sum _{i\in I^{\prime }}a_{i}v_{i},\,\,\sum _{j\in J^{\prime }}b_{j}w_{j}{\biggr )}=}$
${\displaystyle \sum _{i\in I^{\prime },j\in J^{\prime }}a_{i}f\left(v_{i},w_{j}\right)b_{j}.}$
${\displaystyle }$
${\displaystyle }$ (*)

И обратно, при произвольном выборе элементов ${\displaystyle h_{ij}\in H}$, ${\displaystyle i\in I}$, ${\displaystyle j\in J}$, формула (*), где ${\displaystyle f\left(v_{i},w_{j}\right)=h_{ij}}$, определяет билинейное отображение ${\displaystyle V\times W}$ в ${\displaystyle {\text{Н}}}$. Если ${\displaystyle I}$ и ${\displaystyle J}$ конечны, матрица ${\displaystyle \left\|f\left(v_{i},w_{j}\right)\right\|}$ называется матрицей билинейного отображения ${\displaystyle f}$ относительно данных базисов.

Пусть задано билинейное отображение ${\displaystyle f:V\times W\rightarrow H}$. Элементы ${\displaystyle v\in V}$, ${\displaystyle w\in W}$ называются ортогональными относительно ${\displaystyle f}$, если ${\displaystyle f(v,w)=0}$. Подмножества ${\displaystyle X\subset V}$ и ${\displaystyle Y\subset W}$ называются ортогональными относительно ${\displaystyle f}$, если всякий ${\displaystyle x\in X}$ ортогонален всякому ${\displaystyle y\in Y}$. Если ${\displaystyle X}$ – подмодуль в ${\displaystyle V}$, то

${\displaystyle X^{\perp }=\{w\in W\mid f(x,w)=0\,\,{\text{ для всех }}\,\,x\in X\}}$

– подмодуль в ${\displaystyle W}$, называемый ортогональным подмодулем, или ортогональным дополнением, к ${\displaystyle X}$. Аналогично определяется ортогональное дополнение ${\displaystyle Y^{\perp }}$ к подмодулю ${\displaystyle Y}$ в ${\displaystyle W}$. Отображение ${\displaystyle f}$ называется вырожденным справа (соответственно слева), если ${\displaystyle V^{\perp }\neq \{0\}}$ (соответственно ${\displaystyle W^{\perp }\neq \{0\}}$). Подмодули ${\displaystyle V^{\perp }}$ и ${\displaystyle W^{\perp }}$ называются соответственно левым и правым ядром билинейного отображения ${\displaystyle f}$. Если ${\displaystyle V^{\perp }=\{0\}}$ и ${\displaystyle W^{\perp }=\{0\}}$, то ${\displaystyle f}$ называется невырожденным, а в противном случае – вырожденным. Отображение ${\displaystyle f}$ называется нулевым, если ${\displaystyle V^{\perp }=W}$ и ${\displaystyle W^{\perp }=V}$.

Пусть ${\displaystyle V_{i}}$, ${\displaystyle i\in I}$, – семейство левых ${\displaystyle A}$-модулей, ${\displaystyle W_{i}}$, ${\displaystyle i\in I}$, – семейство правых ${\displaystyle B}$-модулей, ${\displaystyle f_{i}}$ – билинейное отображение ${\displaystyle V_{i}\times W_{i}}$ в ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle V}$ – прямая сумма ${\displaystyle A}$-модулей ${\displaystyle V_{i}}$, a ${\displaystyle W}$ – прямая сумма ${\displaystyle B}$-модулей ${\displaystyle W_{i}}$. Отображение ${\displaystyle f:V\times W\rightarrow H}$, определяемое правилом

${\displaystyle f\left(\sum _{i\in I}v_{i},\,\,\sum _{i\in I}w_{i}\right)=\sum _{i\in I}f\left(v_{i},w_{i}\right)}$,

является билинейным отображением и называется прямой суммой отображений ${\displaystyle f_{i}}$. Эта сумма ортогональна, т. е. подмодуль ${\displaystyle V_{i}}$ ортогонален подмодулю ${\displaystyle W_{j}}$ относительно f при ${\displaystyle i\neq j}$.

Билинейное отображение ${\displaystyle f}$ невырождено тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f_{i}}$ невырождено для всех ${\displaystyle i\in I}$; при этом

${\displaystyle V^{\perp }=\sum _{i\neq i}W_{j},\quad W_{i}^{\perp }=\sum _{i\neq i}V_{j}}$.

В случае ${\displaystyle A=B=H}$ билинейное отображение называется билинейной формой.