Эллиптическая функция

Эллипти́ческая фу́нкция в собственном смысле, двоякопериодическая функция, мероморфная в конечной плоскости комплексного переменного ${\displaystyle z}$. Эллиптические функции обладают следующими основными свойствами.

Не существует целых эллиптических функций, кроме констант (теорема Лиувилля).

Пусть ${\displaystyle 2\omega _{1}}$, ${\displaystyle 2\omega _{3}}$ – примитивные периоды эллиптической функции ${\displaystyle f(z)}$, ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\omega _{3}/\omega _{1}\right)>0}$. Сумма вычетов всех полюсов ${\displaystyle f(z)}$ в её параллелограмме периодов

${\displaystyle \Delta =\left\{z=2t\omega _{1}+2\tau \omega _{3};\quad 0\leqslant t<1,\quad 0\leqslant \tau <1\right\}}$

равна нулю.

Пусть ${\displaystyle r}$ – число полюсов (с учётом их кратности) эллиптической функции ${\displaystyle f(z)}$ в параллелограмме периодов ${\displaystyle \Delta }$. Тогда ${\displaystyle f(z)}$ принимает в ${\displaystyle \Delta }$ каждое конечное значение с учётом кратности в точности ${\displaystyle r}$ раз. Число ${\displaystyle r}$ называется порядком эллиптической функции. Не существует эллиптических функций, порядок которых меньше ${\displaystyle 2}$.

Если ${\displaystyle a_{i}}$ и ${\displaystyle b_{i}}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,r}$ – все нули и полюсы эллиптической функции ${\displaystyle f(z)}$ в её параллелограмме периодов ${\displaystyle \Delta }$ с учётом их кратности, то сумма

${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}\left(a_{i}-b_{i}\right)}$

сравнима с нулём по модулю периодов, т. е.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}\left(a_{i}-b_{i}\right)=2m_{1}\omega _{1}+2m_{3}\omega _{3},}$

где ${\displaystyle m_{1}}$, ${\displaystyle m_{3}}$ – целые числа (частный случай теоремы Абеля, см. Абелева функция).

Все эллиптические функции с фиксированными примитивными периодами ${\displaystyle 2\omega _{1}}$, ${\displaystyle 2\omega _{3}}$ образуют алгебраическое поле эллиптических функций с двумя образующими. В качестве этих образующих можно взять, например, функцию Вейерштрасса ${\displaystyle \wp }$ и её производную (см. Эллиптические функции Вейерштрасса).

Производная эллиптической функции является, в свою очередь, эллиптической функцией того же порядка, с теми же периодами. Каждая эллиптическая функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению 1-го порядка.

Каждая эллиптическая функция ${\displaystyle f(z)}$ допускает алгебраическую теорему сложения, т. е. значения ${\displaystyle f\left(z_{1}\right)}$, ${\displaystyle f\left(z_{2}\right)}$, ${\displaystyle f\left(z_{1}+z_{2}\right)}$ связаны неприводимым алгебраическим уравнением с постоянными коэффициентами. Верно и обратное; именно, справедлива теорема Вейерштрасса: всякая аналитическая функция ${\displaystyle f(z)}$, допускающая алгебраическую теорему сложения, либо является рациональной функцией от ${\displaystyle z}$ или от ${\displaystyle e^{z}}$, либо есть эллиптическая функция.

Иногда применяется более общая терминология, связанная с теорией тета-функций. Эллиптической функцией 3-го рода называется всякая мероморфная функция ${\displaystyle f(z)}$, удовлетворяющая функциональному уравнению

${\displaystyle f\left(z+2\omega _{i}\right)=\exp \left[a_{i}\left(z+\omega _{i}\right)+b_{i}\right]\cdot f(z),\quad i=1,3,}$

где ${\displaystyle a_{i}}$, ${\displaystyle b_{i}}$ – некоторые постоянные. Если ${\displaystyle a_{1}=a_{3}=0}$, то ${\displaystyle f(z)}$ называется эллиптической функцией 2-го рода. Если ${\displaystyle a_{1}=a_{3}=b_{1}=b_{3}=0}$, то ${\displaystyle f(z)}$ называется эллиптической функцией 1-го рода или эллиптической функцией в собственном смысле. По этой терминологии тета-функции Якоби (см. Эллиптические функции Якоби) и сигма-функции Вейерштрасса суть эллиптические функции 3-го рода.

Впервые эллиптические интегралы исследовались в работах учёных конца 17 – начала 19 вв. Я. Бернулли (Ј. Bernoulli), И. Бернулли (Ј. Bernoulli), Дж. К. Фаньяно деи Тоски (G. С. Fagnano dei Toschi), Л. Эйлера (L. Euler), A.-М. Лежандра (A. Legendre). Эти интегралы появились в задачах вычисления длины дуги эллипса и других кривых 2-го порядка. Они имеют вид ${\displaystyle \int R(z,w)\,dz}$, где ${\displaystyle R}$ – рациональная функция от переменных ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle w}$, связанных алгебраическим уравнением

${\displaystyle w^{2}=a_{0}z^{4}+a_{1}z^{3}+a_{2}z^{2}+a_{3}z+a_{4},}$

в котором справа стоит многочлен 4-й или 3-й степени без кратных корней. Подынтегральная функция однозначна на двулистной компактной римановой поверхности ${\displaystyle F}$ рода ${\displaystyle g=1}$ с четырьмя точками ветвления. Дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го рода на F (см. Дифференциал на римановой поверхности) порождают соответственно эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода. Интеграл 1-го рода является главной униформизирующей поверхности ${\displaystyle F}$ и поля алгебраических функций, порождаемых ${\displaystyle F}$. Если принять его за независимую переменную, то это поле переходит в поле эллиптических функций.

Идея непосредственного обращения эллиптических интегралов в нормальной форме Лежандра возникла и была развита в работах Н. Абеля (N. Abel) и К. Якоби (С. Јacobi) в начале 19 в. Развитое К. Якоби построение эллиптических функций на основе тета-функций имеет основное значение для приложений эллиптических функций. Теоретически более простое построение поля эллиптических функций, при котором в качестве образующих берутся функция ${\displaystyle \wp }$ и её производная, было дано К. Вейерштрассом (K. Weierstraβ) в 70-х гг. 19 в.

При развитии теории эллиптических функций одной из основных является проблема преобразования эллиптических функций и связанных с ними величин при переходе от примитивных периодов ${\displaystyle 2\omega _{1}}$, ${\displaystyle 2\omega _{3}}$ к другим примитивным периодам ${\displaystyle 2{\hat {\omega }}_{1}}$, ${\displaystyle 2{\hat {\omega }}_{3}}$, связанным соотношениями

${\displaystyle {\hat {\omega }}_{1}=\alpha \omega _{1}+\beta \omega _{3},\quad {\hat {\omega }}_{3}=\gamma \omega _{1}+\delta \omega _{3},}$

где ${\displaystyle \alpha ,{\beta },\gamma ,\delta }$ – целые числа, такие, что ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =n}$, ${\displaystyle n}$ – натуральное число, называемое порядком преобразования. Площадь параллелограмма периодов ${\displaystyle 2{\hat {\omega }}_{1},2{\hat {\omega }}_{3}}$ в ${\displaystyle n}$ раз больше площади параллелограмма периодов ${\displaystyle 2\omega _{1},2\omega _{3}}$. При ${\displaystyle n=1}$ получаются преобразования модулярной группы, откуда возникла связанная с эллиптическими функциями теория модулярных функций.

Эллиптические функции можно трактовать как мероморфные функции, инвариантные относительно преобразований группы сдвигов

${\displaystyle \left\{z\rightarrow z+2n\omega _{1}+2m\omega _{3};\quad n,m\in \mathbb {Z} \right\}}$

комплексной плоскости. Обобщение этого подхода привело к рассмотрению автоморфных функций, инвариантных относительно дробно-линейных отображений, составляющих группы более общей природы. Эллиптические функции и модулярные функции суть частные случаи автоморфных функций.

Обращение эллиптических интегралов сразу же привело к проблеме обращения Якоби более общих абелевых интегралов${\displaystyle \int R(z,w)\,dz}$, где переменные ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle w}$ связаны произвольным алгебраическим уравнением. На этом пути получаются абелевы функции – обобщение эллиптических функций на случай нескольких комплексных переменных.

Эллиптические функции и эллиптические интегралы находят многочисленные применения (как специальные функции) во многих разделах анализа, как средство униформизации в алгебраической геометрии, а также в механике, электродинамике и других прикладных областях.