Эллиптический интеграл

Эллипти́ческий интегра́л, интеграл вида

${\displaystyle \int _{z_{1}}^{z_{2}}R(z,w)dz,}$

где ${\displaystyle R(z,w)}$ – рациональная функция от переменных ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle w}$, связанных алгебраическим уравнением

${\displaystyle w^{2}=f(z)=a_{0}+z^{4}+a_{1}z^{3}+a_{2}z^{2}+a_{3}z+a_{4},}$

в котором ${\displaystyle f(z)}$ – многочлен 3-й или 4-й степени без кратных корней. При этом обычно подразумевается, что этот интеграл нельзя выразить через одни только элементарные функции; в том случае когда такое выражение возможно, он называется псевдоэллиптическим интегралом. Примером эллиптического интеграла является эллиптический интеграл первого рода в нормальной форме Лежандра

${\displaystyle \int _{0}^{z}{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}},}$

он называется также неполным эллиптическим интегралом первого рода.

Название «эллиптический интеграл» связано с тем, что впервые они появились при спрямлении дуги эллипса и других кривых 2-го порядка в работах конце 17 – начале 18 вв. Большой вклад в теорию эллиптических интегралов внесли Иоганн и Якоб Бернулли и Л. Эйлер.