Рациональная функция

Рациона́льная фу́нкция, функция вида

${\displaystyle R(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}}$,

где ${\displaystyle P(z)}$ и ${\displaystyle Q(z)}$ – многочлены

${\displaystyle P(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\ldots +a_{n},}$
${\displaystyle Q(z)=b_{0}z^{m}+b_{1}z^{m-1}+\ldots +b_{m}}$,

${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n},b_{0},b_{1},\ldots ,b_{m}}$– постоянные, называемые коэффициентами рациональной функции, ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$, ${\displaystyle b_{0}\neq 0}$, ${\displaystyle n,m}$ – целые неотрицательные числа. В частности, рациональными функциями являются многочлен и дробно-линейная функция. Можно считать, что многочлены ${\displaystyle P(z)}$ и ${\displaystyle Q(z)}$ взаимно простые, т. е. не имеют общих корней, т. к. в противном случае дробь ${\displaystyle {\frac {P(z)}{Q(z)}}}$ можно сократить.

Рациональная функция является мероморфной функцией в расширенной комплексной плоскости. Справедливо и обратное утверждение: мероморфная в расширенной комплексной плоскости функция является рациональной функцией. Полюсами рациональной функции являются корни её знаменателя и точка ${\displaystyle z=\infty }$, если ${\displaystyle n>m}$. При ${\displaystyle {\ce {z->\infty }}}$ имеет место асимптотическая формула

${\displaystyle R(z)\approx {\frac {a_{0}}{b_{0}}}z^{n-m}}$.

Сумма, разность, произведение, частное и суперпозиция (сложная функция) рациональных функций также являются рациональными функциями. Производная рациональной функции – также рациональная функция. Если ${\displaystyle z_{0}\neq \infty }$ – полюс рациональной функции ${\displaystyle R(z)}$ порядка ${\displaystyle k}$, то ${\displaystyle z_{0}}$ – полюс рациональной функции ${\displaystyle R'(z)}$ порядка ${\displaystyle k+1}$; если ${\displaystyle n>m+1}$, то ${\displaystyle z_{0}=\infty }$ – полюс функции ${\displaystyle R'(z)}$ порядка ${\displaystyle n-m-1}$.

Рациональная функция называется правильной рациональной функцией, если ${\displaystyle n<m}$. При ${\displaystyle n\geqslant m}$ рациональную функцию можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции: где ${\displaystyle M(z)}$ – многочлен степени ${\displaystyle n-m}$, ${\displaystyle N(z)}$ – многочлен степени, меньшей ${\displaystyle m}$. Такое представление однозначно, многочлены ${\displaystyle M(z),N(z)}$ можно найти из формулы

${\displaystyle P(z)=M(z)Q(z)+N(z)}$

методом неопределённых коэффициентов. Правильную рациональную функцию можно разложить на элементарные дроби, т. е. представить в виде конечной суммы элементарных дробей, поэтому любую рациональную функцию можно представить в виде многочлена и конечной суммы элементарных дробей:

${\displaystyle R(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}={\frac {P(z)}{b_{0}(z-z_{1})^{k_{1}}\ldots (z-z_{s})^{k_{s}}}}=}$
${\displaystyle =M(z)+{\frac {A_{1}^{(1)}}{z-z_{1}}}+\ldots {\frac {A_{k_{1}}^{(1)}}{(z-z_{1})^{k_{1}}}}+\ldots +{\frac {A_{1}^{(s)}}{z-z_{s}}}+\ldots +{\frac {A_{k_{s}}^{(s)}}{(z-z_{s})^{k_{s}}}}}$,

где ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{s}}$ – различные корни многочлена ${\displaystyle Q(z)}$ кратностей соответственно ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{s}}$, ${\displaystyle k_{1}+\ldots +k_{s}=m}$. Коэффициенты этого разложения определяются однозначно и могут быть найдены, например, методом неопределённых коэффициентов. Разложение рациональной функции на элементарные дроби удобно для вычисления интеграла от рациональной функции.

Рациональная функция нескольких переменных определяется как дробь, у которой числитель и знаменатель – многочлены нескольких переменных.