Обратные тригонометрические функции

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (аркфункции, круговые функции), функции, обратные тригонометрическим функциям. Значения обратных тригонометрических функций являются решением следующей задачи: найти число по заданному значению его тригонометрической функции. Шести основным тригонометрическим функциям соответствуют шесть обратных тригонометрических функций: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс (названия происходят от лат. arc – дуга), они обозначаются соответственно ${\displaystyle {\textrm {Arcsin}}\,x}$, ${\displaystyle {\textrm {Arccos}}\,x}$, ${\displaystyle {\textrm {Arctan}}\,x}$, ${\displaystyle {\textrm {Arccot}}\,x}$, ${\displaystyle {\textrm {Arcsec}}\,x}$, ${\displaystyle {\textrm {Arccosec}}\,x}$ (две последние функции мало употребительны и далее не рассматриваются). Согласно этому определению, например, величина ${\displaystyle y={\textrm {Arcsin}}\,x}$ есть решение уравнения ${\displaystyle \sin y=x}$, т. е. ${\displaystyle y}$ есть длина дуги, синус которой равен ${\displaystyle x}$, т. о., ${\displaystyle \sin({\textrm {Arcsin}}\,x)=x}$. Поскольку тригонометрические функции периодичны, обратные к ним функции являются многозначными. Определённые однозначные ветви (главные ветви) обратных тригонометрических функций обозначаются ${\displaystyle \arcsin x,\arccos x,\operatorname {arctg} x,{\textrm {arccot}}\,x}$; их другие обозначения – ${\displaystyle \sin ^{-1}x,\cos ^{-1}x,\operatorname {tg} ^{-1}x,\operatorname {ctg} ^{-1}x}$.

Таблица 1. '''Свойства обратных тригонометрических функций
Функция	Область определения	Множество значений	Монотонность
${\displaystyle \arcsin x}$	${\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1}$	${\displaystyle {\Big [}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\Big ]}}$	возрастает
${\displaystyle \arccos x}$	${\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1}$	${\displaystyle [0,\pi ]}$	убывает
${\displaystyle \operatorname {arctg} x}$	${\displaystyle -\infty <x<+\infty }$	${\displaystyle {\Big [}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\Big ]}}$	возрастает
${\displaystyle {\text{arccot }}x}$	${\displaystyle -\infty <x<+\infty }$	${\displaystyle [0,\pi ]}$	убывает

Таблица 2. '''Значения обратных тригонометрических функций арксинус и арккосинус
Аргумент	Функция
	${\displaystyle \arcsin x}$	${\displaystyle \arccos x}$
${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \pi }$
${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}}$
${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}$
${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$
${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$
${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 0}$

Таблица 3. '''Значения обратных тригонометрических функций арктангенс и арккотангенс
Аргумент	Функция
	${\displaystyle \operatorname {arctg} x}$	${\displaystyle {\text{arccot}}\,x}$
${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \pi }$
${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -{\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}}$
${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$
${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$
${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 0}$

Впервые специальные символы для обратных тригонометрических функций использовал Д. Бернулли (1729, 1736), современные обозначения для обратных тригонометрических функций ввели в 1772 г. австрийский математик К. Шерфер и Ж. Лагранж.

Обратные тригонометрические функции действительного переменного ${\displaystyle \arcsin x,\arccos x,\operatorname {arctg} x,\operatorname {arcctg} x}$ определяются как обратные к функциям ${\displaystyle \sin x,\cos x,\operatorname {tg} x,\operatorname {ctg} x}$, заданным соответственно на промежутках ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2],[0,\pi ],(-\pi /2,\pi /2),(0,\pi )}$. Т. о., равенство

${\displaystyle y=\arcsin x}$

означает, что ${\displaystyle \sin y=x}$ и ${\displaystyle -\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2:}$

${\displaystyle \left\{y=\arcsin x\}\Leftrightarrow \{\sin y=x,-\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2\right\}}$.

Аналогично,

${\displaystyle \{y=\arccos x\}\Leftrightarrow \{\cos y=x,0\leqslant y\leqslant \pi \},}$
${\displaystyle \{y=\operatorname {arctg} x\}\Leftrightarrow \{\operatorname {tg} y=x,-\pi /2<y<\pi /2\},}$
${\displaystyle \{y=\operatorname {arctg} x\}\Leftrightarrow \{\operatorname {ctg} y=x,0<y<\pi \}.}$

Эти обратные тригонометрические функции однозначны, непрерывны и их свойства вытекают из свойств тригонометрических функций (таблице 1). Значения обратных тригонометрических функций для некоторых значений аргумента приведены в таблицах 2 и 3. Графики обратных тригонометрических функций см. на рис. Обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы и в окрестности каждой внутренней точки своей области определения могут быть разложены в ряды Тейлора. Обратные тригонометрические функции связаны соотношениями:

${\displaystyle \arcsin x+\arccos x=\pi /2,\quad -1\leqslant x\leqslant 1,}$
${\displaystyle \operatorname {arctg} x+{\textrm {arccot}}\,x=\pi /2,\quad -\infty <x<\infty ,}$

поэтому функции ${\displaystyle \arccos x}$ и ${\displaystyle {\textrm {arccot}}\,x}$ в таблице 4 не фигурируют.

Таблица 4. '''Производные, неопределённые интегралы и разложения в ряды обратных тригонометрических функций

${\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle ({\text{arccot}}\,x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

${\displaystyle \int \arcsin x\,dx=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arctg} x\,dx=x\operatorname {arctg} x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}$

${\displaystyle \arcsin x=x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad \mid x\mid <1}$

${\displaystyle \operatorname {arctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1},\quad \mid x\mid <1}$

Для многозначных обратных тригонометрических функций справедливы равенства:

${\displaystyle {\textrm {Arcsin}}\,x=(-1)^{n}\arcsin x+\pi n,}$
${\displaystyle {\textrm {Arccos}}\,x=\pm \arccos x+2\pi n,}$
${\displaystyle {\textrm {Arctan}}\,x=\operatorname {arctg} x+\pi n,}$
${\displaystyle {\textrm {Arccot}}\,x={\textrm {arccot}}\,x+\pi n,}$

где ${\displaystyle n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$,.

Обратные тригонометрические функции комплексного переменного ${\displaystyle z=x+iy}$ определяются как аналитические продолжения соответствующих обратных тригонометрических функций действительного переменного в комплексную плоскость. Они могут быть выражены через логарифмическую функцию ${\displaystyle {\textrm {Ln}}\,z}$:

${\displaystyle {\textrm {Arcsin}}\,z=-i\,{\textrm {Ln}}(z+{\sqrt {1-z^{2}}},}$
${\displaystyle {\textrm {Arccos}}\,z=-i\,{\textrm {Ln}}(z+{\sqrt {z^{2}-1,}}}$
${\displaystyle {\textrm {Arctan}}\,z={\frac {i}{2}}\,{\textrm {Ln}}{\frac {1-iz}{1+iz}},}$
${\displaystyle {\textrm {Arccot}}\,z={\frac {i}{2}}\,{\textrm {Ln}}{\frac {z-i}{z+i}}.}$