Косеканс

Косе́канс, тригонометрическая функция острого угла в прямоугольном треугольнике, равная отношению гипотенузы к противолежащему катету (рис. 1):

${\displaystyle \operatorname {cosec} A={\dfrac {c}{a}}}$.

Расширенное определение косеканса для любого вещественного аргумента:

${\displaystyle \operatorname {cosec} x={\dfrac {1}{\sin {x}}}}$.

Областью определения косеканса является вся числовая ось, кроме точек ${\displaystyle x=\pi n}$, где ${\displaystyle n}$ – любое целое число. Область значений косеканса: ${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}$.

Косеканс – нечётная неограниченная функция, периодическая с периодом ${\displaystyle 2\pi }$. Вертикальными асимптотами графика косеканса являются прямые ${\displaystyle x=\pi n}$, где ${\displaystyle n}$ – любое целое число.

Локальные минимумы косеканса, равные ${\displaystyle 1}$, достигаются в точках ${\displaystyle x={\dfrac {\pi }{2}}+2\pi n}$, а локальные максимумы, равные ${\displaystyle -1}$, в точках ${\displaystyle x=-{\dfrac {\pi }{2}}+2\pi n}$, где ${\displaystyle n}$ – любое целое число (рис. 2).

Производная косеканса:

${\displaystyle \displaystyle \left(\operatorname {cosec} x\right)^{\prime }=-{\frac {\cos {x}}{\sin ^{2}{x}}}=-\operatorname {ctg} x\cdot \operatorname {cosec} x}$.

Первообразная косеканса:

${\displaystyle \displaystyle \int \operatorname {cosec} x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}\right|+C}$,

где ${\displaystyle C}$ – константа.