Тангенс

Та́нгенс, тригонометрическая функция острого угла в прямоугольном треугольнике, равная отношению противолежащего катета к прилежащему катету (рис. 1):

${\displaystyle \operatorname {tg} A={\dfrac {a}{b}}}$.

(Используются и другие обозначения тангенса, например в англоязычной литературе ${\displaystyle \operatorname {tg} x}$.)

Расширенное определение тангенса для любого вещественного аргумента:

${\displaystyle \operatorname {tg} x={\dfrac {\sin {x}}{\cos {x}}}}$.

Областью определения тангенса является вся числовая ось, кроме точек ${\displaystyle x={\dfrac {\pi }{2}}+\pi n}$, где ${\displaystyle n}$ – любое целое число. Область значений тангенса – вся числовая ось.

Тангенс – нечётная неограниченная возрастающая функция, периодическая с периодом ${\displaystyle \pi }$. Вертикальными асимптотами графика тангенса являются прямые ${\displaystyle x={\dfrac {\pi }{2}}+\pi n}$, где ${\displaystyle n}$ – любое целое число. Нули тангенса достигаются в точках ${\displaystyle x=\pi n}$ (рис. 2).

Производная тангенса:

${\displaystyle \displaystyle \left(\operatorname {tg} x\right)^{\prime }={\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}}$.

Первообразная тангенса:

${\displaystyle \displaystyle \int {\operatorname {tg} x\,dx}=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}$,

где ${\displaystyle C}$ – константа.