Сферическая тригонометрия

Сфери́ческая тригономе́трия, раздел геометрии, в котором изучаются связи между углами и сторонами сферических треугольников. Пусть ${\displaystyle A,B,C}$ – углы и ${\displaystyle a,b,c}$ – противолежащие им стороны (дуги большого круга) сферического треугольника ${\displaystyle ABC}$ (рис.).

Они связаны основными формулами сферической тригонометрии

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}},}$ (1)

${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,}$ (2)

${\displaystyle \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a,}$ (2')

${\displaystyle \sin A\cos b=\cos B\sin C+\sin B\cos C\cos a.}$ (3')

Здесь стороны ${\displaystyle a,b,c}$ измеряются соответствующими центральными углами, длины этих сторон равны соответственно ${\displaystyle aR,bR,cR}$, где ${\displaystyle R}$ – радиус сферы. Меняя обозначения углов (и сторон) по правилу круговой перестановки ${\displaystyle {{\ce {A -> B -> C -> A (a -> b -> c -> a)}}}}$, можно получить другие формулы сферической тригонометрии, аналогичные указанным. Формулы сферической тригонометрии позволяют по любым трём элементам сферического треугольника определить три остальные (решить треугольник).

Для прямоугольных сферических треугольников (${\displaystyle A=90^{\circ },a}$– гипотенуза, ${\displaystyle b,c}$ – катеты) формулы сферической тригонометрии существенно упрощаются, например:

${\displaystyle \sin b=\sin a\sin B,}$ (1')

${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c,}$ (2')

${\displaystyle \sin a\cos B=\cos b\sin c.}$ (3')

Сферическая тригонометрия возникла значительно раньше плоской тригонометрии при решении задач астрономии. Свойства прямоугольных сферических треугольников, выражаемые формулами (1')–(3'), и различные случаи их решения были известны ещё Менелаю и Птолемею, арабский учёный Насирэддин ат-Туси (13 в.) рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников, впервые указав решение в двух труднейших случаях. Л. Эйлер дал (1753, 1779) всю систему формул сферической тригонометрии.