Синус

Си́нус, тригонометрическая функция острого угла в прямоугольном треугольнике, равная отношению противолежащего катета к гипотенузе (рис. 1):

${\displaystyle \sin A={\dfrac {a}{c}}}$.

Расширенное определение синуса для любого вещественного аргумента: синус угла ${\displaystyle \alpha }$ равен ординате точки ${\displaystyle A}$ на окружности единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 2):

${\displaystyle \sin {\alpha }=y_{\alpha }}$.

Здесь ${\displaystyle \alpha }$ – угол между осью абсцисс и вектором ${\displaystyle OA}$, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс. Если отсчёт ведётся против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной.

Областью определения синуса является вся числовая ось, область значений синуса ${\displaystyle \ [-1,\ {1}]}$.

Синус – непрерывная нечётная ограниченная функция, периодическая с периодом ${\displaystyle 2\pi }$. Локальные минимумы синуса, равные ${\displaystyle -1}$, достигаются в точках ${\displaystyle x=2\pi n-{\dfrac {\pi }{2}}}$, а локальные максимумы, равные ${\displaystyle 1}$, – в точках ${\displaystyle x=2\pi n+{\dfrac {\pi }{2}}}$, где ${\displaystyle n}$ – любое целое число. Синус обращается в нуль в точках ${\displaystyle x=\pi n}$ (рис. 3).

Производная синуса:

${\displaystyle \left(\mathrm {sin\ } x\right)^{\prime }=\cos {x}}$.

Первообразная синуса:

${\displaystyle \displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos {x}+C,}$

где ${\displaystyle C}$ – константа.