Котангенс

Кота́нгенс, тригонометрическая функция острого угла в прямоугольном треугольнике, равная отношению прилежащего катета к противолежащему катету (рис. 1):

${\displaystyle \operatorname {ctg} A={\dfrac {b}{a}}}$.

(Используются и другие обозначения котангенса, например ${\displaystyle \operatorname {ctg} x}$, ${\displaystyle \operatorname {ctg} gx}$ и ${\displaystyle \mathop {\mathrm {ctn} } x}$.)

Расширенное определение котангенса для любого вещественного аргумента:

${\displaystyle \operatorname {ctg} x={\dfrac {\cos {x}}{\sin {x}}}}$.

Областью определения котангенса является вся числовая ось, кроме точек ${\displaystyle x=\pi n}$, где ${\displaystyle n}$ – любое целое число. Область значений котангенса – вся числовая ось.

Котангенс – нечётная неограниченная убывающая функция, периодическая с периодом ${\displaystyle \pi }$. Вертикальными асимптотами графика котангенса являются прямые ${\displaystyle x=\pi n}$, где ${\displaystyle n}$ – любое целое число. Нули котангенса достигаются в точках ${\displaystyle x={\dfrac {\pi }{2}}+\pi n}$ (рис. 2).

Производная котангенса:

${\displaystyle \displaystyle \left(\operatorname {ctg} x\right)^{\prime }=-{\frac {1}{\sin ^{2}{x}}}}$.

Первообразная котангенса:

${\displaystyle \displaystyle \int {\operatorname {ctg} x\,dx}=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}$,

где ${\displaystyle C}$ – константа.