Открытое отображение

Откры́тое отображе́ние, непрерывное отображение топологических пространств, при котором образ любого открытого множества является открытым множеством. Более подробно, непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ называется открытым, если для каждого множества ${\displaystyle U}$, открытого в ${\displaystyle X}$, множество ${\displaystyle f(U)}$ открыто в ${\displaystyle Y}$.

Для отображения ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ топологических пространств следующие условия равносильны:

(i) отображение ${\displaystyle f}$ открыто;

(ii) отображение ${\displaystyle f}$ непрерывно, и малый образ каждого замкнутого множества при отображении ${\displaystyle f}$ замкнут, т. е. для каждого замкнутого ${\displaystyle F\subset X}$ множество ${\displaystyle f^{\#}(F)=\{y\in Y:f^{-1}(y)\subset F\}}$ замкнуто в ${\displaystyle Y}$;

(iii) отображение ${\displaystyle f}$ непрерывно, и образ внутренности каждого множества содержится во внутренности его образа, т. е. ${\displaystyle f(\mathop {\mathrm {Int} } (A))\subset \mathop {\mathrm {Int} } f(A)}$ для всех ${\displaystyle A\subset X}$;

(iv) прообраз замыкания каждого множества равен замыканию прообраза, т. е. ${\displaystyle f^{-1}({\overline {B}})={\overline {f^{-1}(B)}}}$ для всех ${\displaystyle B\subset Y}$;

(v) прообраз границы каждого множества равен границе прообраза, т. е. ${\displaystyle f^{-1}(\mathop {\mathrm {Fr} } {B})=\mathop {\mathrm {Fr} } f^{-1}(B)}$ для всех ${\displaystyle B\subset Y}$;

(vi) внутренность прообраза каждого множества равна прообразу его внутренности, т. е. ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Int} } f^{-1}(B)=f^{-1}(\mathop {\mathrm {Int} } B)}$ для всех ${\displaystyle B\subset Y}$.

Пусть ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ – отображения топологических пространств. Тогда а) если отображения ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ открыты, то композиция ${\displaystyle g\circ f}$ – открытое отображение; б) если композиция ${\displaystyle g\circ f}$ – открытое отображение, а отображение ${\displaystyle f}$ открыто и сюръективно, то отображение ${\displaystyle g}$ открыто. Ограничение открытого отображения ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ на открытое подмножество ${\displaystyle V\subset X}$ является открытым отображением.

Непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ называется открытым в точке ${\displaystyle x\in X}$, если для произвольной окрестности ${\displaystyle U\subset X}$ точки ${\displaystyle x}$ множество ${\displaystyle f(U)}$ содержит некоторую окрестность точки ${\displaystyle f(x)}$, т. е. если ${\displaystyle f(x)\in \mathop {\mathrm {Int} } f(U)}$. Непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ открыто тогда и только тогда, когда оно открыто в каждой точке ${\displaystyle x\in X}$.

Примеры. 1. Любое отображение в одноточечное пространство является открытым (и одновременно замкнутым).

2. Взаимно однозначное отображение топологических пространств является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно открыто.

3. Проекция ${\displaystyle p\colon X\times Y\to Y}$, где ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ – произвольные топологические пространства, является открытым отображением. В частности, открытыми отображениями являются проекции евклидовых пространств ${\displaystyle p\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ при ${\displaystyle n\geqslant m}$.

4. Сюръективное линейное непрерывное отображение банаховых пространств является открытым отображением (это классическое утверждение функционального анализа, известное как теорема об открытом отображении).

5. Пусть ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ – область (открытое связное множество) комплексной плоскости, тогда любая непостоянная голоморфная в ${\displaystyle D}$ функция ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ является открытым отображением (это утверждение – переформулировка известного в комплексном анализе принципа сохранения области).

Некоторые свойства топологических пространств, не сохраняющиеся в общем случае непрерывными отображениями, могут сохраняться открытыми отображениями. В частности, открытые отображения не повышают вес и характер пространства, т. е. если ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ – открытое сюръективное отображение, то ${\displaystyle w(Y)\leqslant w(X)}$ и ${\displaystyle \chi (Y)\leqslant \chi (X)}$; при этом требование открытости (а не только непрерывности) отображения существенно.

Общее определение открытого отображения топологических пространств (под названием внутреннего, нем. innere) появилось у Н. Ароншайна (Aronszajn. 1931^[1]).

Иногда в определение открытого отображения не включают непрерывность, т. е. открытым называют отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ топологических пространств (необязательно непрерывное), при котором образ любого открытого множества является открытым множеством. Это условие равносильно любому из следующих:

a) ${\displaystyle f(\mathop {\mathrm {Int} } (A))\subset \mathop {\mathrm {Int} } f(A)}$ для всех ${\displaystyle A\subset X}$;

b) ${\displaystyle f^{-1}({\overline {B}})\subset {\overline {f^{-1}(B)}}}$ для всех ${\displaystyle B\subset Y}$;

с) ${\displaystyle f^{-1}(\mathop {\mathrm {Fr} } {B})\subset \mathop {\mathrm {Fr} } f^{-1}(B)}$ для всех ${\displaystyle B\subset Y}$;

d) ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Int} } f^{-1}(B)\subset f^{-1}(\mathop {\mathrm {Int} } B)}$ для всех ${\displaystyle B\subset Y}$;

e) ${\displaystyle {\overline {f^{\#}(A)}}\subset f^{\#}({\overline {A}})}$ для всех ${\displaystyle A\subset X}$.

В такой терминологии открытое отображение (понимаемое в смысле определения, принятого в настоящей статье) является «непрерывным и открытым».