Замкнутое отображение

За́мкнутое отображе́ние, непрерывное отображение топологических пространств, при котором образ любого замкнутого множества является замкнутым множеством. Более подробно: непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ называется замкнутым, если для каждого множества ${\displaystyle F}$, замкнутого в ${\displaystyle X}$, множество ${\displaystyle f(F)}$ замкнуто в ${\displaystyle Y}$.

Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ топологических пространств замкнуто в том и только том случае, если образ замыкания каждого множества совпадает с замыканием его образа, т. е. если ${\displaystyle f\left({\overline {A}}\right)={\overline {f\left(A\right)}}}$ для любого ${\displaystyle A\subset X}$ (более слабое условие: ${\displaystyle f\left({\overline {A}}\right)\subset {\overline {f\left(A\right)}}}$ для любого ${\displaystyle A\subset X}$ – эквивалентно непрерывности отображения ${\displaystyle f}$). Также имеет место следующий критерий: непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ замкнуто тогда и только тогда, когда малый образ каждого открытого множества открыт, т. е. когда для каждого открытого ${\displaystyle U\subset X}$ множество ${\displaystyle f^{\#}(U)=\{y\in Y:f^{-1}(y)\subset U\}}$ открыто в ${\displaystyle Y}$.

Пусть ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ – отображения топологических пространств. Тогда а) если отображения ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ замкнуты, то композиция ${\displaystyle g\circ f}$ – замкнутое отображение; б) если композиция ${\displaystyle g\circ f}$ – замкнутое отображение, а отображение ${\displaystyle f}$ замкнуто и сюръективно, то отображение ${\displaystyle g}$ замкнуто. Ограничение замкнутого отображения ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ на замкнутое подмножество ${\displaystyle A\subset X}$ является замкнутым отображением.

Непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ называется замкнутым в точке ${\displaystyle y\in Y}$, если для каждого открытого множества ${\displaystyle U\subset X}$, содержащего прообраз ${\displaystyle f^{-1}(y)}$, в ${\displaystyle Y}$ найдётся открытое множество ${\displaystyle V}$, такое, что ${\displaystyle y\in V}$ и ${\displaystyle f^{-1}(V)\subset U}$ (эквивалентное определение: непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ замкнуто в точке ${\displaystyle y\in Y}$, если для каждого замкнутого ${\displaystyle F\subset X}$ условия ${\displaystyle y\in {\overline {f(F)}}}$ и ${\displaystyle y\in f(F)}$ равносильны). Основанием для этого определения является следующее утверждение: непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ замкнуто тогда и только тогда, когда оно замкнуто в каждой точке ${\displaystyle y\in Y}$.

Примеры. 1. Любое отображение в одноточечное пространство является замкнутым (и одновременно открытым).

2. Взаимно однозначное отображение топологических пространств является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно замкнуто.

3. Отображение ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ вещественной прямой в себя, заданное правилом

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&{\text{если }}x\geqslant 1\\x,&{\text{если }}-1\leqslant x\leqslant 1,\\-1,&{\text{если }}x\leqslant -1,\end{cases}}}$

замкнуто, но не открыто.

4. Проекция ${\displaystyle p\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ координатной плоскости на ось абсцисс является непрерывным (и даже открытым), но не замкнутым отображением: множество ${\displaystyle p(A)={\mathbb {R} }\setminus \{0\}}$, где ${\displaystyle A=\{(x,1/x):x\in {\mathbb {R} },\quad x\neq 0\}}$, не является замкнутым. Более того (как показывает рассмотрение горизонтальных сдвигов указанного множества ${\displaystyle A}$), отображение ${\displaystyle p}$ не является замкнутым ни в какой точке. Вместе с тем ограничение проекции ${\displaystyle p}$ на любое замкнутое ограниченное подмножество плоскости будет замкнутым отображением (более общо, замкнутым является любое непрерывное отображение компактного пространства в хаусдорфово).

Некоторые свойства топологических пространств, не сохраняющиеся в общем случае непрерывными отображениями, могут сохраняться замкнутыми отображениями (таково, например, свойство нормальности).

В общей топологии также имеют значение некоторые классы непрерывных отображений, близких к замкнутым. Среди них ${\displaystyle z}$-замкнутые отображения (непрерывные отображения, при которых образ любого функционально замкнутого множества замкнут), а также вполне замкнутые отображения: непрерывное сюръективное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ называется вполне замкнутым, если для каждой точки ${\displaystyle y\in Y}$ и любого конечного покрытия её прообраза ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ открытыми в ${\displaystyle X}$ множествами ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots U_{n}}$ множество

${\displaystyle \{y\}\cup f^{\#}(U_{1})\cup f^{\#}(U_{2})\cup \ldots \cup f^{\#}(U_{n})}$

открыто в ${\displaystyle Y}$ [здесь ${\displaystyle f^{\#}(U_{i})}$ обозначает малый образ множества ${\displaystyle U_{i}}$ ]. Каждое вполне замкнутое отображение замкнуто, и каждое замкнутое отображение ${\displaystyle z}$-замкнуто.

Понятие замкнутого отображения появилось у В. Гуревича (Hurewicz. 1926) и П. С. Александрова (Alexandroff. 1927); у последнего – под названием «дважды непрерывного» (нем. doppelstetige): «удвоенность» непрерывности заключается в том, что при таком отображении замкнуты как образы, так и прообразы замкнутых множеств. Понятие замкнутости отображения в точке было введено И. А. Вайнштейном (Вайнштейн. 1952); вполне замкнутые отображения введены В. В. Федорчуком в 1968 г. (см. Федорчук. 2003).

Иногда в определение замкнутого отображения не включают непрерывность, т. е. замкнутым называют отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ топологических пространств (не обязательно непрерывное), при котором образ любого замкнутого множества является замкнутым множеством [эквивалентное определение: ${\displaystyle {\overline {f(A)}}\subset f({\overline {A}})}$ для всех ${\displaystyle A\subset X}$]. В такой терминологии замкнутое отображение (понимаемое в смысле определения, принятого в настоящей статье) является «непрерывным и замкнутым».