Лемма Урысона

Ле́мма Урысо́на, классическое утверждение общей топологии. Оно гласит, что любые два непересекающихся замкнутых подмножества ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ нормального топологического пространства ${\displaystyle X}$ функционально отделимы в нём, т. е. найдётся непрерывная функция ${\displaystyle f\colon X\to [0,1]}$ такая, что ${\displaystyle f(x)=0}$ для всех ${\displaystyle x\in A}$ и ${\displaystyle f(x)=1}$ для всех ${\displaystyle x\in B}$.

Для метризуемых пространств лемма Урысона может быть установлена непосредственно, а именно: если ${\displaystyle X}$ – метризуемое пространство и ${\displaystyle \rho }$ – метрика, задающая топологию на нём, то для любой пары ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ непересекающихся замкнутых в ${\displaystyle X}$ множеств формула

${\displaystyle f(x)={\dfrac {\rho (x,A)}{\rho (x,A)+\rho (x,B)}}}$

определяет непрерывную функцию ${\displaystyle f\colon X\to [0,1]}$ такую, что ${\displaystyle f(x)=0}$ для всех ${\displaystyle x\in A}$ и ${\displaystyle f(x)=1}$ для всех ${\displaystyle x\in B}$ [здесь ${\displaystyle \rho (x,A)}$ обозначает расстояние от точки ${\displaystyle x}$ до множества ${\displaystyle A}$, т. е. величину, равную ${\displaystyle \inf\{\rho (x,a):a\in A\}}$ для ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ и равную ${\displaystyle 1}$ для ${\displaystyle A=\varnothing }$]. В общем случае доказательство леммы Урысона опирается на аксиому зависимого выбора.

Лемма Урысона названа в честь П. С. Урысона, доказавшего её в прибавлении III к работе «О мощности связных множеств» (Urysohn. 1925^[1]; рус. пер.: Урысон. 1951^[2]); он связал это своё утверждение с решением следующей проблемы М. Фреше: «Найти возможно широкий класс топологических пространств, в которых существуют непостоянные действительные непрерывные функции».

В научной школе П. С. Александрова лемма Урысона часто называлась «большой леммой Урысона»; «малой леммой Урысона» называлось следующее утверждение: если ${\displaystyle A}$ – замкнутое подмножество нормального пространства ${\displaystyle X}$, а ${\displaystyle V\subset X}$ – содержащее ${\displaystyle A}$ открытое множество, то найдётся открытое ${\displaystyle U\subset X}$ такое, что ${\displaystyle A\subset U\subset {\overline {U}}\subset V}$ (здесь ${\displaystyle {\overline {U}}}$ обозначает замыкание множества ${\displaystyle U}$).

Как малая, так и большая лемма Урысона выражает не только необходимое, но и достаточное условие нормальности топологического пространства (при этом в определении нормальности не требуется условие быть ${\displaystyle T_{1}}$-пространством).