Тихоновский куб

Ти́хоновский куб, топологическое пространство, являющееся бесконечной степенью единичного отрезка. Более подробно: тихоновский куб веса ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ (где ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ – бесконечный кардинал) – это пространство ${\displaystyle {\mathbb {I} }^{\mathfrak {m}}}$, т. е. тихоновское произведение ${\displaystyle \prod \limits _{s\in S}I_{s}}$, где ${\displaystyle S}$ – некоторое множество мощности ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ и ${\displaystyle I_{s}=\mathbb {I} }$ для всех ${\displaystyle s\in S}$ (здесь ${\displaystyle \mathbb {I} }$ – единичный отрезок вещественной прямой). Так определённое пространство, с точностью до естественного гомеоморфизма, зависит лишь от мощности множества ${\displaystyle S}$; его точками являются индексированные наборы ${\displaystyle x=\{x_{s}\}_{s\in S}}$, где ${\displaystyle x_{s}\in \mathbb {I} }$ при всех ${\displaystyle s\in S}$, а базой топологии (в соответствии с общим определением тихоновского произведения) является семейство всех множеств вида ${\displaystyle \prod \limits _{s\in S}U_{s}}$, где ${\displaystyle U_{s}}$ открыто в ${\displaystyle \mathbb {I} }$ при всех ${\displaystyle s\in S}$, причём множество ${\displaystyle \left\{s\in S:U_{s}\neq \mathbb {I} \right\}}$ конечно.

Другой способ явного описания топологии тихоновского куба ${\displaystyle {\mathbb {I} }^{\mathfrak {m}}=\prod \limits _{s\in S}I_{s}}$ состоит в следующем. Для каждых его точки ${\displaystyle x=\{x_{s}\}_{s\in S}}$, числа 𝜀 > 0 и конечного множества ${\displaystyle K\subset S}$ пусть ${\displaystyle B_{K}(x,\varepsilon )}$ обозначает множество его точек ${\displaystyle y=\{y_{s}\}_{s\in S}}$, таких, что ${\displaystyle \left|x_{s}-y_{s}\right|<\varepsilon }$ для всех ${\displaystyle s\in K}$. Тогда семейство множеств ${\displaystyle B_{K}(x,\varepsilon )}$ (при всевозможных ${\displaystyle \varepsilon >0}$ и конечных ${\displaystyle K\subset S}$) образует базисную систему окрестностей точки ${\displaystyle x}$.

Основные свойства тихоновских кубов:

1. Вес пространства ${\displaystyle {\mathbb {I} }^{\mathfrak {m}}}$ равен ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ (поэтому название «тихоновский куб веса ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$» корректно); отсюда также следует, что тихоновские кубы ${\displaystyle {\mathbb {I} }^{\mathfrak {m}}}$ и ${\displaystyle {\mathbb {I} }^{\mathfrak {n}}}$ негомеоморфны, если ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\neq {\mathfrak {n}}}$. Если ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\leqslant {\mathfrak {n}}}$, то ${\displaystyle {\mathbb {I} }^{\mathfrak {m}}}$ является замкнутым подпространством куба ${\displaystyle {\mathbb {I} }^{\mathfrak {n}}}$.

2. Пространство ${\displaystyle {\mathbb {I} }^{\mathfrak {m}}}$ является хаусдорфовым компактным пространством (следовательно, нормальным и тихоновским).

3. Пространство ${\displaystyle {\mathbb {I} }^{\mathfrak {m}}}$ является универсальным в классе тихоновских пространств веса не большего, чем ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, т. е. любое тихоновское пространство веса не большего, чем ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, гомеоморфно некоторому подпространству тихоновского куба ${\displaystyle {\mathbb {I} }^{\mathfrak {m}}}$ (данное утверждение иногда называют второй теоремой Тихонова, а теорему Тихонова о компактности произведения компактных пространств – первой). Хаусдорфово пространство веса не большего, чем ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, является компактным тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно некоторому замкнутому подпространству тихоновского куба ${\displaystyle {\mathbb {I} }^{\mathfrak {m}}}$.

4. Пространство ${\displaystyle {\mathbb {I} }^{\mathfrak {m}}}$ (для каждого ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$) обладает свойством Суслина, т. е. любое семейство попарно непересекающихся непустых открытых подмножеств пространства ${\displaystyle {\mathbb {I} }^{\mathfrak {m}}}$ не более чем счётно.

Тихоновский куб счётного веса (т. е. пространство ${\displaystyle {\mathbb {I} }^{\aleph _{0}}}$) также называют гильбертовым кубом. Гильбертов куб естественно гомеоморфен фундаментальному параллелепипеду гильбертова пространства (так называемому «гильбертову кирпичу»), т. е. подмножеству пространства ${\displaystyle \ell _{2}}$, состоящему из последовательностей ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots )}$, для которых ${\displaystyle 0\leqslant x_{n}\leqslant {\frac {1}{n}}}$ при ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$.

Тихоновский куб назван в честь А. Н. Тихонова, который впервые определил это пространство, доказал его компактность и установил его универсальное свойство (результаты объявлены в Tychonoff. 1926^[1], доказательства опубликованы в Tychonoff. 1930^[2]; русские переводы этих статей см. Тихонов. 2009.^[3] С. 81–83, 116–145).