Среднее

Сре́днее (среднее значение), числовая характеристика множества чисел или функции.

Средним для данного множества чисел ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ называется некоторое число, заключённое между наибольшим и наименьшим из них. Наиболее употребительными средними являются арифметическое среднее

${\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}},}$

геометрическое среднее

${\displaystyle {\sqrt {a_{1}a_{2}...a_{n}}},}$

гармоническое среднее

${\displaystyle {\frac {n}{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+...+a_{n}^{-1}}},}$

квадратичное среднее

${\displaystyle {\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}{n}}}}$.

О связях между этими средними см. в статье Неравенства.

Рассматриваются и другие средние, например взвешенное среднее

${\displaystyle {\frac {p_{1}a_{1}+p_{2}a_{2}+...+p_{n}a_{n}}{p_{1}+p_{2}+...+p_{n}}},}$

где ${\displaystyle p_{1},p_{2},...,p_{n}}$ – положительные числа, называемые весами. Если ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ – координаты материальных точек на прямой, в которых сосредоточены массы ${\displaystyle p_{1},p_{2},...,p_{n}}$, то взвешенное среднее – координата центра тяжести этой системы точек.

Средним значением функции называется некоторое число, заключённое между её наибольшим и наименьшим значением. В математическом анализе имеется ряд «теорем о среднем», в которых устанавливается существование таких точек, в которых функция принимает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о среднем в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях): если ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и дифференцируема на интервале ${\displaystyle (a,b)}$, то существует точка ${\displaystyle c}$, принадлежащая интервалу ${\displaystyle (a,b)}$, такая, что ${\displaystyle f(b)-f(a)=(b-a)f(c)}$. В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о среднем является следующая: если ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, а ${\displaystyle \phi (x)}$ сохраняет один и тот же знак, то на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ существует точка ${\displaystyle c}$ такая, что

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\phi (x)dx=f(c)\int _{a}^{b}\phi (x)dx}$.

В частности, если ${\displaystyle \phi (x)\equiv 1}$, то

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)}$.

Вследствие этого под средним значением функции ${\displaystyle f(x)}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ обычно понимают величину

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx}$.

Аналогично определяется среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.