Симплектическое многообразие

Cимплекти́ческое многообра́зие ${\displaystyle (M,\omega )}$, чётномерное многообразие ${\displaystyle M}$, снабжённое симплектической структурой ${\displaystyle \omega }$ – замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой. Локально (но не глобально!) все симплектические многообразия одной размерности симплектоморфны, т. е. переводятся друг в друга диффеоморфизмами, сохраняющими симплектическую структуру. Это следует из теоремы Дарбу, утверждающей, что в окрестности любой точки симплектического многообразия можно выбрать координаты ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n},q_{1},\ldots ,q_{n}}$, в которых симплектическая структура имеет вид ${\displaystyle \omega =dp_{1}\wedge dq_{1}+\ldots +dp_{n}\wedge dq_{n}}$.

Симплектическое многообразие можно задавать симплектическим атласом. Основные примеры симплектических многообразий: кокасательные расслоения (симплектическая структура – дифференциал формы действия); кэлеровы, в частности, проективные комплексные многообразия (симплектическая структура – мнимая часть эрмитовой структуры); орбиты коприсоединённого представления групп Ли (симплектическая структура – форма Ли – Березина – Костанта – Кириллова). Другой конструкцией, приводящей к симплектическим многообразиям, является т. н. гамильтонова, или симплектическая редукция.