Симплектическая редукция

Cимплекти́ческая реду́кция, обобщение на некоммутативный случай процедуры понижения порядка гамильтоновой системы при помощи системы инволютивных первых интегралов.

Пусть рассматривается пуассоново действие группы Ли ${\displaystyle G}$ на симплектическом многообразии ${\displaystyle (M,\omega )}$, и пусть ${\displaystyle p\in {\mathfrak {S}}^{*}}$ – регулярное значение отображения моментов ${\displaystyle P:M\rightarrow {\mathfrak {S}}^{*}}$. Стационарная подгруппа ${\displaystyle G_{p}}$ точки ${\displaystyle p}$ действует на многообразии ${\displaystyle M_{p}=P^{-1}(p)}$. Пусть фактормногообразие ${\displaystyle F_{p}=M_{p}/G_{p}}$ орбит группы ${\displaystyle G_{p}}$ на ${\displaystyle M_{p}}$ определено (например, если ${\displaystyle G_{p}}$ компактна и действует на ${\displaystyle M_{p}}$ без неподвижных точек). Тогда многообразие ${\displaystyle F_{p}}$ наследует с ${\displaystyle M}$ симплектическую структуру и называется приведённым фазовым пространством, или симплектической редукцией многообразия ${\displaystyle M}$.

${\displaystyle G}$-инвариантный гамильтониан ${\displaystyle H:M\rightarrow \mathbb {R} }$ определяет функцию на ${\displaystyle F_{p}}$, которая называется приведённым гамильтонианом. Гамильтоново поле гамильтониана ${\displaystyle H}$ касается многообразия ${\displaystyle M_{p}}$ и ${\displaystyle G_{p}}$-инвариантно и, следовательно, спускается на векторное поле ${\displaystyle F_{p}}$, которое является гамильтоновым для приведённого гамильтониана. Таким образом, исходная система с гамильтонианом ${\displaystyle H}$, обладающая группой симметрии ${\displaystyle G}$, сводится к системе на приведённом пространстве с приведённым гамильтонианом.