Касательное расслоение

Каса́тельное расслое́ние дифференцируемого многообразия ${\displaystyle M}$, векторное расслоение ${\displaystyle \tau :TM\rightarrow M}$, пространство ${\displaystyle TM}$ которого является касательным пространством к ${\displaystyle M}$ (объединением касательных пространств ${\displaystyle T_{x}M}$ в точках ${\displaystyle x\in M}$), состоящим из касательных векторов к ${\displaystyle M}$, а проекция ${\displaystyle \tau }$ отображает ${\displaystyle T_{x}M}$ в ${\displaystyle x}$. Сечение касательного расслоения ${\displaystyle \tau (M)}$ – векторное поле на многообразии ${\displaystyle M}$. Атлас многообразия ${\displaystyle TM}$ определяется атласом многообразия ${\displaystyle M}$ и условием локальной тривиальности расслоения ${\displaystyle \tau (M)}$. Функции перехода касательного расслоения являются матрицами Якоби функций перехода атласа многообразия.

К касательному расслоению присоединено главное расслоение реперов многообразия ${\displaystyle M}$. Расслоение ${\displaystyle \tau ^{*}(M)}$, двойственное касательному расслоению ${\displaystyle \tau (M)}$, называется кокасательным расслоением, а его пространство ${\displaystyle T^{*}M}$ – кокасательным пространством. Сечениями его являются линейные дифференциальные формы (формы Пфаффа).

Дифференцируемое отображение ${\displaystyle h:M\rightarrow N}$ индуцирует морфизм касательных расслоений ${\displaystyle \tau (M)\rightarrow \tau (N)}$; соответствующее отображение касательных пространств ${\displaystyle h^{T}:TM\rightarrow TN}$ называется касательным к ${\displaystyle h}$ отображением. В частности, если ${\displaystyle i:M\rightarrow N}$ – иммерсия, то ${\displaystyle \tau (M)}$ является подрасслоением индуцированного расслоения ${\displaystyle i^{*}\tau (N)}$. Факторрасслоение ${\displaystyle \nu (i)=i^{*}\tau (N)/\tau (M)}$ называется нормальным расслоением иммерсии. Двойственно, если ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ – субмерсия, то факторрасслоение ${\displaystyle \tau (M)/j^{*}\tau (N)}$ называется субрасслоением ${\displaystyle f}$. Если в качестве ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ взяты соответственно ${\displaystyle TM}$ и ${\displaystyle M}$, а ${\displaystyle h=\tau :TM\rightarrow M}$, то ${\displaystyle \tau ^{*}\tau (M)}$ называется вторым касательным расслоением.

Если касательное расслоение ${\displaystyle \tau (M)}$ тривиально, то ${\displaystyle M}$ называется параллелизуемым многообразием.