Симплектическая структура

Симплекти́ческая структу́ра, инфинитезимальная структура 1-го порядка на чётномерном гладком ориентируемом многообразии ${\displaystyle M^{2n}}$, которая определяется заданием на ${\displaystyle M^{2n}}$ невырожденной 2-формы ${\displaystyle \Phi }$. В каждом касательном пространстве ${\displaystyle T_{x}\left({M}^{2n}\right)}$возникает структура симплектического пространства с кососимметрическим скалярным произведением ${\displaystyle {\Phi }(X,Y)}$. Все касательные к ${\displaystyle M^{2n}}$ peперы, адаптированные к симплектической структуре, т. е. реперы, относительно которых ${\displaystyle \Phi }$ имеет канонический вид

${\displaystyle \Phi =2\sum _{\alpha =1}^{n}\omega ^{\alpha }\wedge \omega ^{n+\alpha }}$,

образуют главное расслоённое пространство над ${\displaystyle M^{2n}}$, структурной группой которого является симплектическая группа ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$. Вообще задание симплектической структуры на ${\displaystyle M^{2n}}$ равносильно заданию ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$-структуры на ${\displaystyle M^{2n}}$ как некоторой ${\displaystyle G}$-структуры.

Ha ${\displaystyle M^{2n}}$ с симплектической структурой существует изоморфизм между модулями векторных полей и 1-форм на ${\displaystyle M^{2n}}$, который векторному полю ${\displaystyle X}$ ставит в соответствие 1-форму ${\displaystyle {{\ce {\omega_{X}: Y -> \Phi(X, Y)}}}}$. Образ скобки Ли ${\displaystyle [X,Y]}$ называется при этом скобкой Пуассона ${\displaystyle \left[\omega _{X},\omega _{Y}\right]}$; в частности, когда ${\displaystyle \omega _{X}}$ и ${\displaystyle \omega _{Y}}$ – полные дифференциалы, получается понятие скобки Пуассона двух функций на ${\displaystyle M^{2n}}$, которое обобщает соответствующее классическое понятие.

Симплектическая структура называется почти гамильтоновой структурой, а если ${\displaystyle \Phi }$ замкнута, т. е. ${\displaystyle d\Phi =0}$, то гамильтоновой структурой; впрочем, иногда условие ${\displaystyle d\Phi =0}$ включают в определение симплектической структуры. Эти структуры, находящие применения в глобальной аналитической механике, основаны на том факте, что на касательном расслоённом пространстве ${\displaystyle T^{*}(M)}$ любого гладкого многообразия ${\displaystyle M}$ существует каноническая гамильтонова структура. Она определяется формой ${\displaystyle \Phi =d\theta }$, где 1-форма ${\displaystyle \theta }$ на ${\displaystyle T^{*}(M)}$, называемая формой Лиувилля, задаётся следующим образом: ${\displaystyle \theta _{u}\left(X_{u}\right)=u\left(\pi _{*}X_{u}\right)}$ для любого касательного вектора ${\displaystyle X_{u}}$ в точке ${\displaystyle u\in T^{*}(M)}$, где ${\displaystyle \pi }$ – проекция ${\displaystyle {{\ce {T^{*}(M) -> M}}}}$. Если на ${\displaystyle M}$ выбраны локальные координаты ${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$ и ${\displaystyle u=y_{i}(u)\,dx_{\pi (u)}^{i}}$, то ${\displaystyle \theta =y_{i}\,dx^{i}}$, вследствие чего ${\displaystyle \Phi =dy_{i}\wedge dx^{i}}$. В классической механике ${\displaystyle M}$ интерпретируется как конфигурационное пространство, а ${\displaystyle T^{*}(M)}$ – как фазовое пространство.

Векторное поле ${\displaystyle X}$ на ${\displaystyle M^{2n}}$ с гамильтоновой структурой называется гамильтоновым (или гамильтоновой системой), если 1-форма ${\displaystyle \omega _{X}}$ замкнута. Если она, кроме того, точна, т. е. ${\displaystyle \omega _{X}=-dH}$, то функция ${\displaystyle H}$ на ${\displaystyle M^{2n}}$ называется гамильтонианом и является обобщением соответствующего классического понятия.