Эрмитова структура

Эрми́това структу́ра на многообразии ${\displaystyle M}$, паpa ${\displaystyle (J,g)}$, состоящая из комплексной структуры ${\displaystyle J}$ многообразия ${\displaystyle M}$ и эрмитовой метрики ${\displaystyle g}$ в касательном расслоении ${\displaystyle TM}$, т. е. римановой метрики ${\displaystyle g}$, инвариантной относительно ${\displaystyle J}$ :

${\displaystyle g(JX,JY)=g(X,Y)}$

для любых векторных полей ${\displaystyle X,Y}$ на ${\displaystyle M}$. Эрмитова структура задаёт в каждом касательном пространстве ${\displaystyle T_{p}M}$ структуру эрмитова векторного пространства (см. Эрмитова метрика). Многообразие с эрмитовой структурой называется эрмитовым многообразием. Эрмитова структура определяет на ${\displaystyle M}$ дифференциальную ${\displaystyle 2}$-форму ${\displaystyle \omega (X,Y)=g(X,JY)}$, которая называется канонической ${\displaystyle 2}$-формой эрмитова многообразия. Любую комплексную структуру ${\displaystyle J}$ на многообразии ${\displaystyle M}$ можно дополнить некоторой римановой метрикой ${\displaystyle g}$ до эрмитовой структуры ${\displaystyle (J,g)}$: в качестве ${\displaystyle g}$ можно взять метрику ${\displaystyle g(X,Y)=g_{0}(X,Y)+g_{0}(JX,JY)}$, где ${\displaystyle g_{0}}$ – произвольная риманова метрика.

Каноническую эрмитову связность эрмитовой метрики ${\displaystyle g}$ можно рассматривать как аффинную связность с кручением ${\displaystyle T}$ на ${\displaystyle M}$, относительно которой поля ${\displaystyle J}$ и ${\displaystyle g}$ ковариантно постоянны. Среди всех аффинных связностей, удовлетворяющих этим условиям, она однозначно характеризуется тождеством ${\displaystyle T(JX,Y)=T(X,JY)}$, справедливым для её тензора кручения ${\displaystyle T}$ и произвольных векторных полей ${\displaystyle X,Y}$. Тензор кривизны ${\displaystyle R}$ канонической связности удовлетворяет условию ${\displaystyle R(JX,JY)=R(X,Y)}$. Эрмитово многообразие является кэлеровым многообразием тогда и только тогда, когда каноническая эрмитова связность не имеет кручения и совпадает тем самым со связностью Леви-Чивиты метрики ${\displaystyle g}$.

Естественным обобщением понятия эрмитовой структуры является понятие почти эрмитовой структуры, т. е. пары ${\displaystyle (J,g)}$, состоящей из почти комплексной структуры ${\displaystyle J}$ многообразия ${\displaystyle M}$ и римановой метрики ${\displaystyle g}$, инвариантной относительно ${\displaystyle J}$. Если фундаментальная ${\displaystyle 2}$-форма ${\displaystyle \omega (X,Y)=g(X,JY)}$ замкнута, то почти эрмитова структура называется почти кэлеровой. Задание почти эрмитовой структуры равносильно редукции структурной группы касательного расслоения к группе ${\displaystyle U(n)}$, где ${\displaystyle n={\frac {1}{2}}\operatorname {dim} M}$. Любая невырожденная дифференциальная ${\displaystyle 2}$- форма на многообразии M является фундаментальной ${\displaystyle 2}$-формой некоторой почти эрмитовой структуры.