Пространство символов в некоммутативном анализе

Пространство одноместных символов обозначим через ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Требуется:

• чтобы элементами ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$ были функции, определённые в некоторой области ${\displaystyle \mathbb {D} }$ вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$;
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ было алгеброй относительно поточечного умножения функций и содержало алгебру многочленов;
• на ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ была задана структура полной алгебры со сходимостью, в которой алгебраические операторы непрерывны;
• разностная производная ${\displaystyle \delta /\delta y}$, определённая формулой
  ${\displaystyle {\frac {\delta f}{\delta y}}(y_{1},y_{2})=\left\{{\begin{aligned}{\frac {f(y_{1})-f(y_{2})}{y_{1}-y_{2}}}&,&y_{1}&\neq y_{2},\\f^{\prime }(y)&,&y_{1}=y_{2}=y,\end{aligned}}\right.}$

  действовала непрерывно в пространствах

  ${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta y}}:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}{\widehat {\otimes }}{\mathcal {F}}}$,

  где ${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$ – проективное тензорное произведение в категории алгебр со сходимостью.

При этих условиях справедлива теорема единственности, утверждающая, что для заданного ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-генератора ${\displaystyle A}$ отображение

${\displaystyle \mu _{A}:f\mapsto f(A)}$,

сопоставляющее каждому символу ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$ оператор ${\displaystyle f(A)}$ таким образом, что ${\displaystyle \mu _{A}}$ – гомоморфизм алгебр, и определённое на многочленах естественным образом (т. е.

${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{k=0}^{m}a_{k}z^{k}\rightarrow f(A)=\sum \limits _{k=0}^{m}a_{k}A^{k})}$,

единственно.

Пространство ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle n}$-местных символов определяется как проективное тензорное произведение

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}={\mathcal {F}}^{{\widehat {\otimes }}n}\equiv \underbrace {{\mathcal {F}}{\widehat {\otimes }}\dots {\widehat {\otimes }}{\mathcal {F}}} _{n{\text{ сомножителей}}}}$,

где ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ – заданное пространство одноместных символов. Иногда используется более сложная конструкция, в которой для разных переменных допускаются разные пространства одноместных символов:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}={\mathcal {F}}_{(1)}{\widehat {\otimes }}\dots {\widehat {\otimes }}{\mathcal {F}}_{(n)}}$.

В основном распространён случай, когда некоторые из алгебр ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{(1)},\dots ,{\mathcal {F}}_{(n)}}$ одноместных символов суть алгебры многочленов, а остальные совпадают с заданным пространством одномерных символов ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Выбор пространства одноместных символов зависит от свойств оператора ${\displaystyle A}$, который предполагается подставить в операторные выражения вместо соответствующей числовой переменной.

1. Если ${\displaystyle A}$ – ограниченный оператор в банаховом пространстве, то в качестве алгебры ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ можно взять алгебру голоморфных функций, определённых в односвязной окрестности спектра ${\displaystyle \sigma (A)}$ в комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (окрестность своя для каждой функции ${\displaystyle f}$), при этом оператор ${\displaystyle f(A)}$ определяется с помощью интеграла Коши

${\displaystyle f(A)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\gamma }f(\lambda )(\lambda -A)^{-1}\,d\lambda }$,

где ${\displaystyle \gamma }$ – контур в комплексной плоскости, окружающий спектр ${\displaystyle \sigma (A)}$, проходимый в положительном направлении и целиком лежащий в области голоморфности функции ${\displaystyle f(z)}$.

2. Если ${\displaystyle A}$ – ограниченный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве, то в качестве ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ можно взять алгебру гладких функций, определённых в окрестности спектра ${\displaystyle \sigma (A)}$ (своей для каждой функции) на вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$. При этом оператор ${\displaystyle f(A)}$ определяется с помощью интеграла

${\displaystyle f(A)=\int f(\lambda )\,dE_{\lambda }(A)}$,

где ${\displaystyle dE_{\lambda }(A)}$ – спектральное семейство (разложение единицы) оператора ${\displaystyle A}$, а интеграл берётся по достаточно малой окрестности спектра оператора ${\displaystyle A}$ (такой, что функция ${\displaystyle f}$ определена в этой окрестности); от выбора окрестности интеграл не зависит. Разумеется, эта формула продолжается на более широкий класс символов, состоящий из функций, непрерывных в окрестности спектра ${\displaystyle \sigma (A)\subset \mathbb {R} }$, но такой более широкий класс символов уже не удовлетворяет перечисленным выше условиям 1–4.

3. Пусть ${\displaystyle A}$ – непрерывный оператор некоторого порядка ${\displaystyle r}$ в шкале ${\displaystyle \{E_{s}\}_{s\in \mathbb {R} }}$ банаховых (или, как частный случай, гильбертовых) пространств, т. е. он непрерывен в пространствах ${\displaystyle A:E_{s}\to E_{s-r}}$ для любого ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$, и является производящим оператором полугруппы степенного роста в шкале ${\displaystyle \left\{E_{s}\right\}}$; это означает, что задача Коши

${\displaystyle -i{\frac {\partial u}{\partial t}}+Au=0,\quad u|_{t=0}=u_{0}}$ (*)

в пространстве

${\displaystyle E=\bigcup _{s\in \mathbb {R} }E_{s}}$

разрешима (и имеет единственное решение) для любого ${\displaystyle u_{0}\in E}$, причём решение единственно и удовлетворяет оценкам

${\displaystyle \|u(t)\|_{s-r_{1}}\leq C_{s}(1+|t|)^{m_{s}}\|u\|_{s},\quad s\in \mathbb {R} }$,

где ${\displaystyle \|\cdot \|_{s}}$ – норма в пространстве ${\displaystyle E_{s}}$, постоянные ${\displaystyle C_{s}}$ и ${\displaystyle m_{s}}$ зависят от ${\displaystyle s}$, а постоянная ${\displaystyle r_{1}}$ не зависит от ${\displaystyle s}$. Решение задачи Коши (*) будем обозначать через

${\displaystyle u(t)=e^{iAt}u_{0}}$.

Тогда в качестве пространства ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ одноместных символов можно взять пространство ${\displaystyle {\mathcal {F}}=S^{\infty }(\mathbb {R} ^{1})}$ гладких функций ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, удовлетворяющих оценкам

${\displaystyle \left|{\frac {d^{k}f(x)}{dx^{k}}}\right|\leq C_{k}(1+|x|)^{m},\quad k=0,1,2,\dots }$,

где постоянные ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle C_{k}}$ зависят от ${\displaystyle f}$ (причём ${\displaystyle m}$ не зависит от ${\displaystyle k}$). Оператор ${\displaystyle f(A)}$ определяется с помощью интеграла Фурье

${\displaystyle f(A)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}(t)e^{iAt}\,dt,}$ (**)

где ${\displaystyle {\tilde {f}}(t)}$ – преобразование Фурье функции ${\displaystyle f(x)}$:

${\displaystyle {\tilde {f}}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-itx}f(x)\,dx}$.

Заметим, что ${\displaystyle {\tilde {f}}(t)}$ – вообще говоря, обобщённая функция (распределение); интеграл (**) логично понимать в смысле теории распределений как интеграл Петтиса (или интеграл Бохнера), и он задаёт корректно определённый непрерывный оператор в шкале ${\displaystyle \left\{E_{s}\right\}}$. Пространство ${\displaystyle n}$-местных символов ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ в этом случае имеет вид

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}=S^{\infty }(\mathbb {R} ){\widehat {\otimes }}\dots {\widehat {\otimes }}S^{\infty }(\mathbb {R} )=S^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$,

где ${\displaystyle S^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ – пространство гладких функций ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$, удовлетворяющих оценкам

${\displaystyle |f^{(\alpha )}(x)|\leq c_{\alpha }(1+|x|)^{m}}$

c некоторыми постоянными ${\displaystyle m=m(f)}$ и ${\displaystyle C_{\alpha }=C_{\alpha }(f)}$.

Функция от ${\displaystyle n}$ операторов ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}}$, являющихся производящими операторами групп медленного роста в шкале банаховых пространств ${\displaystyle \left\{E_{s}\right\}}$, определяется с помощью ${\displaystyle n}$-кратного преобразования Фурье

${\displaystyle f({\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}})={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int {\tilde {f}}(t_{1},\dots ,t_{n})e^{iA_{n}t_{n}}\dots e^{iA_{1}t_{1}}\,dt_{1}\dots dt_{n}}$

(интеграл по-прежнему понимается как интеграл Бохнера или Петтиса в смысле распределений; обратите внимание на порядок сомножителей ${\displaystyle e^{iA_{j}t_{j}}}$ в правой части, который определяется фейнмановскими номерами ${\displaystyle 1,\dots ,n}$ над операторами ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}}$).

Простым примером операторов, удовлетворяющих написанным выше условиям, являются операторы ${\displaystyle A_{1}=-ih{\frac {\partial }{\partial x}}}$ и ${\displaystyle A_{2}=x}$ (оператор умножения на ${\displaystyle x}$) в шкале пространств ${\displaystyle \left\{H^{s}(\mathbb {R} )\right\}}$, где ${\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} )}$ – пополнение пространства ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} )}$ по норме

${\displaystyle \|u\|_{s}=\|(1+A_{1}^{2}+A_{2}^{2})^{s/2}u\|_{L^{2}(\mathbb {R} )}}$.

В этом случае операторы ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$ имеют порядок ${\displaystyle 1}$, а порядок роста соответствующих полугрупп совпадает с индексом пространства:

${\displaystyle A_{j}:H_{s}\to H_{s-1},\quad \|e^{iA_{j}t}\|_{H^{s}\to H^{s}}\leq C_{s}(1+|t|)^{s},\quad j=1,2,\quad s\in \mathbb {R} }$.

Соответствующие операторы ${\displaystyle f({\overset {1}{A_{1}}},{\overset {2}{A_{2}}})}$, ${\displaystyle f\in S^{\infty }(\mathbb {R} ^{2})}$ суть не что иное, как псевдодифференциальные операторы с параметром ${\displaystyle h}$ на прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$.