Преобразование Фурье обобщённой функции

Преобразова́ние Фурье́ обобщённой фу́нкции, расширение операции преобразования Фурье с основных функций на обобщённые функции. Пусть ${\displaystyle K}$ – пространство основных функций, на котором определена операция преобразования Фурье ${\displaystyle F}$,

${\displaystyle \displaystyle \varphi \longrightarrow F[\varphi ]=\int \varphi (x)e^{i(\xi ,x)}dx,\quad \varphi \in K}$,

причём ${\displaystyle F}$ – изоморфизм пространства ${\displaystyle K}$ на пространство основных функций ${\displaystyle {\tilde {K}}}$. Тогда операция преобразования Фурье ${\displaystyle f\rightarrow F[f]}$, определяемая на пространстве обобщённых функций ${\displaystyle {\widetilde {K}}^{\prime }}$ равенством

${\displaystyle (F[f],\varphi )=(f,F[\varphi ]),\quad \varphi \in K}$,

осуществляет изоморфизм ${\displaystyle {\tilde {K}}^{\prime }}$ на пространство основных функций ${\displaystyle K^{\prime }}$.

Примеры. 1) ${\displaystyle K=S={\tilde {K}}}$, ${\displaystyle K^{\prime }=S^{\prime }={\bar {K}}^{\prime }}$. Здесь обратной операцией к ${\displaystyle F}$ служит операция

${\displaystyle \displaystyle F^{-1}[f]={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}F[f(-\xi )],\quad f\in S^{\prime }}$,

и справедливы основные формулы для ${\displaystyle f\in S^{\prime }}$:

${\displaystyle D^{\alpha }F[f]=F\left[(ix)^{\alpha }f\right],\quad F\left[D^{\alpha }f\right]=(-i\xi )^{\alpha }F[f]}$.

2) ${\displaystyle K=\bigcap \limits _{s\geqslant 0}L_{s}^{2}}$, ${\displaystyle {\tilde {K}}=D_{L^{2}}=\bigcap \limits _{s\geqslant 0}H_{s}}$, ${\displaystyle {\tilde {K^{\prime }}}=D_{L^{2}}^{\prime }=\bigcup \limits _{s\geqslant 0}H_{-s}}$, где ${\displaystyle L_{s}^{2}}$ – совокупность функций ${\displaystyle \varphi }$, таких, что ${\displaystyle (1+\xi ^{2})^{s/2}\varphi \in L^{2}}$ и ${\displaystyle H_{s}={\tilde {L}}_{s}^{2}}$, ${\displaystyle -\infty <s<\infty }$.

3) ${\displaystyle K=D}$, ${\displaystyle {\tilde {K}}=Z}$, где ${\displaystyle Z}$ – совокупность целых функций ${\displaystyle \varphi (z)}$, удовлетворяющих условию роста: существует число ${\displaystyle a=a_{f}\geqslant 0}$, такое, что для любого ${\displaystyle N\geqslant 0}$ найдётся ${\displaystyle c_{N}>0}$ такое, что

${\displaystyle \mid \varphi (z)\mid \leqslant c_{N}e^{a\mid \operatorname {Im} z\mid }(1+\mid z\mid )^{-N},\quad z\in \mathbb {C} ^{n}}$.

Ряды Фурье обобщённой функции. Если обобщённая функция ${\displaystyle f}$ – периодическая с ${\displaystyle n}$-периодом ${\displaystyle T=(T_{1},\ldots ,{\hat {T}}_{n})}$, ${\displaystyle T_{j}>0}$, то ${\displaystyle f\in S^{\prime }}$ и её можно разложить в тригонометрический ряд

${\displaystyle \displaystyle f(x)=\sum _{\mid k\mid =0}^{\infty }c_{k}(f)e^{i(k\omega ,x)},\quad \left|c_{k}(f)\right|\leqslant A(1+\mid k\mid )^{m}}$,

сходящийся к ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle S^{\prime }}$; здесь

${\displaystyle \omega =\left({\frac {2\pi }{T_{1}}},\ldots ,{\frac {2\pi }{T_{n}}}\right),\quad k\omega =\left({\frac {2\pi k_{1}}{T_{1}}},\ldots ,{\frac {2\pi k_{n}}{T_{n}}}\right)}$

Пpимеpы. 4) ${\displaystyle F\left(x^{\alpha }\right)=(2\pi )^{n}(-i)^{\mid \alpha \mid }D^{\alpha }\delta (\xi )}$, в частности, ${\displaystyle F[1]=(2\pi )^{n}\delta (\xi )}$.

5) ${\displaystyle F\left[D^{\alpha }\delta \right]=(-i\xi )^{\alpha }}$, в частности, ${\displaystyle F[\delta ]=1}$.

6) ${\displaystyle F[\theta ]={\frac {i}{\xi +i0}}=\pi \delta (\xi )+iP{\frac {1}{\xi }}}$, где ${\displaystyle \theta }$ – функция Хевисайда.

Преобразование Фурье свёртки обобщённых функций. Пусть прямое произведение ${\displaystyle f(x)\times g(y)}$ обобщённых функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ из ${\displaystyle D^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$ допускает расширение на функции вида ${\displaystyle \varphi (x+y)}$, ${\displaystyle \forall \varphi \in D(\mathbb {R} ^{n})}$. Именно, пусть для любой последовательности ${\displaystyle \eta _{k}(x;y)}$, ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$, из ${\displaystyle D\left(\mathbb {R} ^{2n}\right)}$ со свойствами: ${\displaystyle \left|D^{\alpha }\eta _{k}(x;y)\right|\leqslant c_{\alpha }}$, ${\displaystyle \eta _{k}(x;y)\rightrightarrows 1}$, ${\displaystyle D^{\alpha }\eta _{k}(x;y)\rightrightarrows 0}$, ${\displaystyle \mid \alpha \mid \geqslant 1}$, ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$ (равномерно на любом компакте), числовая последовательность

${\displaystyle \left(f(x)\times g(y),\eta _{k}(x;y)\varphi (x+y)\right),\quad k\rightarrow \infty }$,

имеет предел, обозначаемый ${\displaystyle (f(x)\times g(y),\varphi (x+y))}$, не зависящий от последовательности ${\displaystyle \left\{\eta _{k}\right\}}$ из указанного класса. В этом случае функционал ${\displaystyle f*g}$, действующий по формуле ${\displaystyle (f*g,\varphi )=(f(x)\times g(y),\varphi (x+y))}$, ${\displaystyle \varphi \in D\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$, называется свёрткой обобщённых функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle f*g\in D'(\mathbb {R} ^{n})}$. Свёртка существует не для любых пар обобщённых функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$. Она заведомо существует, если при любом ${\displaystyle R>0}$ множество

${\displaystyle T_{R}=[(x,y):x\in \operatorname {supp} f,y\in \operatorname {supp} g,\mid x+y\mid \leqslant R]}$

ограничено в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ (в частности, если ${\displaystyle f}$ или ${\displaystyle g}$ финитна). Если свёртка ${\displaystyle f*g}$ существует, то она коммутативна, ${\displaystyle f*g=g*f}$, и коммутирует со сдвигом и с производной: ${\displaystyle f*D^{\alpha }g=D^{\alpha }(f*g)=D^{\alpha }f*g}$; ${\displaystyle \delta }$ – функция Дирака играет роль единицы: ${\displaystyle f=\delta *f=f*\delta }$. Свёртка – неассоциативная операция. Однако существуют ассоциативные (и коммутативные) свёрточные алгебры. Единицей в них служит дельта-функция Дирака ${\displaystyle \delta }$. Свёрточную алгебру образует, например, множество ${\displaystyle D_{\Gamma }^{\prime }}$, состоящее из обобщённых функций из ${\displaystyle D^{\prime }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ с носителем в выпуклом остром замкнутом конусе ${\displaystyle \Gamma }$ с вершиной в ${\displaystyle O}$. Множество ${\displaystyle S_{\Gamma }^{\prime }=S^{\prime }\cap D_{\Gamma }^{\prime }}$ образует свёрточную подалгебру алгебры ${\displaystyle D_{\Gamma }^{\prime }}$. Обозначают: ${\displaystyle D_{+}^{\prime }=D_{[0,\infty )}^{\prime }}$, ${\displaystyle S_{+}^{\prime }=S_{[0,\infty )}^{\prime }}$ (при ${\displaystyle n=1}$). Формула преобразования Фурье свёртки

${\displaystyle F[f*g]=F[f]F[g]}$

справедлива в следующих случаях:

a) ${\displaystyle f\in S^{\prime }}$, ${\displaystyle g}$ финитна,

б) ${\displaystyle f,g\in D_{L^{2}}^{\prime }}$,

в)${\displaystyle f\in D^{\prime }}$, ${\displaystyle g}$ финитна,

г) ${\displaystyle f,g\in S_{\Gamma }^{\prime }}$. В этом случае произведение ${\displaystyle F[f]F[g]}$ обобщённых функций ${\displaystyle F[f]}$ и ${\displaystyle F[g]}$ понимается как граничное значение в ${\displaystyle S^{\prime }}$ произведения ${\displaystyle {\tilde {f}}(\zeta ){\tilde {g}}(\zeta )}$, ${\displaystyle \zeta =\xi +i\eta }$ при ${\displaystyle \eta \rightarrow 0}$, ${\displaystyle \eta \in \operatorname {int} \Gamma ^{*}}$, где ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ и ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ обозначают преобразования Лапласа ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ (см. Произведение обобщённых функций).