Самосопряжённый оператор

Самосопряжённый опера́тор (эрмитов оператор), линейный оператор ${\displaystyle A}$, определённый на линейном всюду плотном множестве ${\displaystyle D(A)}$ гильбертова пространства ${\displaystyle H}$ и совпадающий со своим сопряжённым оператором ${\displaystyle A^{*}}$, т. е. такой, что ${\displaystyle D(A)=D\left(A^{*}\right)}$ и

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$ (*)

для любых ${\displaystyle x,y\in D(A)}$. Всякий самосопряжённый оператор замкнут и не допускает расширения с сохранением равенства (*) на более широкое, чем ${\displaystyle D(A)}$, линейное многообразие, в силу чего самосопряжённый оператор называется также гипермаксимальным. Поэтому если ${\displaystyle A}$ – ограниченный самосопряжённый оператор, то он определен на всем пространстве ${\displaystyle H}$.

Каждый самосопряжённый оператор однозначно определяет разложение единицы ${\displaystyle F_{\lambda }}$, ${\displaystyle -\infty <\lambda <\infty }$; имеет место интегральное представление

${\displaystyle Ax=\int _{-\infty }^{\infty }\lambda \,dF_{\lambda }x}$,

где интеграл понимается как сильный предел интегральных сумм для каждого ${\displaystyle x\in D(A)}$, и

${\displaystyle D(A)=\left\{x{\bigg |}\int _{-\infty }^{\infty }\lambda ^{2}\,d\langle E_{\lambda }x,x\rangle <\infty \right\}}$.

Спектр самосопряжённого оператора ${\displaystyle A}$ не пуст и лежит на действительной оси. Квадратичная форма ${\displaystyle K(A)=\langle Ax,x\rangle }$, порождённая самосопряжённым оператором ${\displaystyle A}$, действительна, что позволяет ввести понятие положительного оператора.

С помощью самосопряжённых операторов описываются многие краевые задачи математической физики.