Фейнмановские номера

Фе́йнмановские номера́, в некоммутативном анализе (теории функций от некоммутирующих операторов) – номера над операторами в операторном выражении, показывающие порядок их действия: чем больше номер, тем левее в операторном выражении после его раскрытия будет стоять соответствующий оператор. Например,

${\displaystyle {\overset {1}{A}}{\overset {2}{B}}=BA,\qquad {\overset {2}{A}}{\overset {1}{B}}=AB}$,

и вообще, если, например,

${\displaystyle f(x,y,z)=\sum a_{jkl}x^{j}y^{k}z^{l}}$,

то (в предположении, что ряд в правой части сходится)

${\displaystyle f({\overset {1}{A}},{\overset {2}{B}},{\overset {3}{C}})=\sum a_{jkl}C^{l}B^{k}A^{j},\qquad f({\overset {1}{A}},{\overset {3}{B}},{\overset {2}{C}})=\sum a_{jkl}B^{k}C^{l}A^{j}}$

и т. д. Использование фейнмановских номеров позволяет при манипуляциях с операторными выражениями не заботиться о порядке написания аргументов, т. к. он учитывается этими номерами автоматически. В сочетании с правилами некоммутативного анализа и автономными скобками эти обозначения позволяют существенно сократить выкладки.

Сформулируем кратко общее определение. Пусть ${\displaystyle {A_{1},\dots ,A_{n}}}$ – операторы, вообще говоря, не коммутирующие между собой, являющиеся ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-производящими для некоторого пространства ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ одноместных символов, и пусть ${\displaystyle j_{1},\dots ,j_{n}}$ – вещественные числа, такие, что ${\displaystyle j_{k}\neq j_{l}}$ при любых ${\displaystyle k,l}$, таких, что коммутатор ${\displaystyle [A_{k},A_{l}]\equiv A_{k}A_{l}-A_{l}A_{k}}$ отличен от нуля. Далее, пусть функция ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ принадлежит пространству символов ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ (пространству ${\displaystyle n}$-местных символов, соответствующему ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$). Тогда операторы ${\displaystyle {A_{1},\dots ,A_{n}}}$ можно подставить в функцию ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$, задавая порядок их действия номерами ${\displaystyle j_{1},\dots ,j_{n}}$; оператор, получающийся в результате этой подстановки, обозначается через ${\displaystyle f({{\overset {j_{1}}{A_{1}}},{\overset {j_{2}}{A_{2}}},\dots ,{\overset {j_{n}}{A_{n}}}})}$.

Номера над операторами в указанном смысле были впервые использованы Р. Фейнманом (Feynman. 1951^[1]), который рассматривал не конечные наборы ${\displaystyle (A_{1},\dots ,A_{n})}$, а континуальные семейства ${\displaystyle \{A_{\tau }\}_{\tau \in \mathbb {R} }}$. В широкий обиход фейнмановские номера в рамках теории функций от некоммутирующих операторов были введены В. П. Масловым (Маслов. 1973^[2]). Отметим, что псевдодифференциальные операторы в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ могут быть записаны с помощью фейнмановских номеров как функции от фейнмановского набора

${\displaystyle {\biggl (}{\overset {2}{x_{1}}},\dots ,{\overset {2}{x_{n}}},-i{\overset {1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}},\dots ,-i{\overset {1}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}{\biggr )}}$

или

${\displaystyle {\biggl (}{\overset {1}{x_{1}}},\dots ,{\overset {1}{x_{n}}},-i{\overset {2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}},\dots ,-i{\overset {2}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}{\biggr )}}$.