Потенциал

Потенциа́л (от лат. potentia – сила) в математике, понятие, характеризующее широкий класс физических силовых полей (гравитационное, электрическое и др.) и вообще поля физических величин, представляемых векторами (поле скоростей в жидкости и др.). В электростатическом поле потенциал вводится как вспомогательная функция, пространственные производные которой – компоненты напряжённости электрического поля в данной точке, в гидродинамике – компоненты скорости жидкости в данной точке и т. п. При этом потенциал в ряде случаев имеет и важный физический смысл. Так, в электростатическом поле он численно равен (с обратным знаком) работе, необходимой для удаления единичного положительного заряда из данной точки на бесконечность.

В общем случае потенциал векторного поля ${\displaystyle a(x,y,z)}$ – скалярная функция ${\displaystyle u(x,y,z)}$ такая, что ${\displaystyle a={\text{grad}}\,u}$, т. е. ${\displaystyle a_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}}$, ${\displaystyle a_{y}={\frac {\partial u}{\partial y}}}$, ${\displaystyle a_{z}={\frac {\partial u}{\partial z}}}$, где ${\displaystyle a_{x}}$, ${\displaystyle a_{y}}$, ${\displaystyle a_{z}}$ – компоненты поля ${\displaystyle a}$ в прямоугольной системе координат ${\displaystyle Oxyz}$. Если такая функция существует, то векторное поле ${\displaystyle a}$ называется потенциальным. Иногда потенциалом называют функцию ${\displaystyle U=-u}$ (например, в электростатике). Потенциал векторного поля ${\displaystyle a}$ определяется не однозначно, а с точностью до постоянного слагаемого. Поэтому при изучении потенциального поля представляют интерес лишь разности потенциалов в различных точках поля. Уравнение ${\displaystyle u(x,y,z)=c}$ геометрически представляет поверхность, во всех точках которой потенциал имеет одну и ту же величину; такие поверхности называются поверхностями уровня или эквипотенциальными поверхностями.

Для поля тяготения, образованного помещённой в точку ${\displaystyle A(\xi ,\eta ,\zeta )}$ точечной массой ${\displaystyle m}$, потенциал (ньютонов потенциал) имеет в точке ${\displaystyle P(x,y,z)}$ вид

${\displaystyle u(x,y,z)=Gm/r}$,

где

${\displaystyle r={\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}}}$,

${\displaystyle G}$ – гравитационная постоянная. При наложении полей их потенциалы алгебраически складываются. Если поле тяготения порождается некоторой массой, имеющей плотность ${\displaystyle \rho (\xi ,\eta ,\zeta )}$ и занимающей объём ${\displaystyle V}$, то его потенциал можно рассматривать как наложение элементарных полей, образованных бесконечно малыми телами массы ${\displaystyle \rho d\xi \,d\eta \,d\zeta }$. Ньютонов потенциал такого поля представляется интегралом

${\displaystyle u(x,y,z)=G\iiint _{V}{\frac {\rho }{v}}\rho d\xi d\eta d\zeta .}$ (*)

Потенциал ${\displaystyle u(x,y,z)}$ – непрерывная функция во всём пространстве вместе со своими частными производными 1-го порядка; вне тела объёма ${\displaystyle V}$ функция ${\displaystyle u(x,y,z)}$ удовлетворяет уравнению Лапласа, внутри – уравнению Пуассона.

Если притягивающие массы распределены с плотностью ${\displaystyle \rho _{S}}$ по поверхности ${\displaystyle S}$ (простой слой), то потенциал образованного ими поля выражается интегралом

${\displaystyle v(x,y,z)=G\int _{S}{\frac {\rho _{S}}{r}}ds}$.

Потенциал простого слоя ${\displaystyle v(x,y,z)}$ – функция, непрерывная во всём пространстве; при пересечении поверхности ${\displaystyle S}$ нормальная производная функции ${\displaystyle v(x,y,z)}$ имеет разрыв, равный ${\displaystyle 4\pi G/\rho _{S}}$. Неограниченно сближая две поверхности, на которых расположены простые слои с плотностями ${\displaystyle \rho _{S}}$ и ${\displaystyle -\rho _{S}}$, и одновременно увеличивая ${\displaystyle \rho _{S}}$ до бесконечности, но так, чтобы был конечен предел ${\displaystyle \lim n\rho _{S}=\mu }$, где ${\displaystyle n}$ – нормальное расстояние между поверхностями, приходят к понятию потенциала двойного слоя:

${\displaystyle w(x,y,z)=G\int _{S}\mu {\frac {\partial }{\partial n}}{\frac {1}{r}}\,ds}$.

Потенциал двойного слоя ${\displaystyle w(x,y,z)}$ – непрерывная функция во всём пространстве вне ${\displaystyle S}$; при пересечении поверхности ${\displaystyle S}$ функция ${\displaystyle w(x,y,z)}$ имеет разрыв, равный ${\displaystyle 4\pi G\mu }$.

Функции ${\displaystyle v(x,y,z)}$ и ${\displaystyle w(x,y,z)}$ удовлетворяют уравнению Лапласа. В виде суммы потенциалов простого и двойного слоёв может быть представлена любая гармоническая функция.

Если тело ${\displaystyle V}$ – бесконечный цилиндр с поперечным сечением ${\displaystyle D}$ и плотность ${\displaystyle \rho }$ вещества цилиндра постоянна вдоль каждой прямой, параллельной образующим цилиндра, то формула (*) приводит к понятию логарифмического потенциала:

${\displaystyle u(x,y)=G\int _{D}\rho \ln(1/\rho )ds}$.

В ряде математических задач используется понятие векторного потенциала, см. Векторное исчисление.

Идея потенциала принадлежит Ж. Лагранжу (1775) и П. Лапласу (1782). Теория потенциала создана независимо Дж. Грином (1828) и К. Гауссом (1840).