Уравнение Пуассона

Уравне́ние Пуассо́на, дифференциальное уравнение с частными производными, которому удовлетворяет объёмный потенциал внутри областей, занятых создающими этот потенциал массами. Для ньютонова потенциала в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 3}$, и логарифмического потенциала в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ уравнение Пуассона имеет вид

${\displaystyle \Delta u=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}=-\sigma \left(S^{n}\right)\rho \left(x_{i},\ldots ,x_{n}\right)}$,

где ${\displaystyle \rho =\rho \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$ – плотность распределения масс, ${\displaystyle \sigma \left(S^{n}\right)=n\pi ^{n/2}/\Gamma (n/2+1)}$ – площадь единичной сферы ${\displaystyle S^{n}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \Gamma (n/2+1)}$ – значение гамма-функции.

Уравнение Пуассона является основным примером неоднородного уравнения эллиптического типа. Уравнение Пуассона впервые рассмотрено C. Пуассоном (Poisson. 1813).