Частная производная

Ча́стная произво́дная первого порядка функции многих переменных, производная функции по одной из переменных при условии, что все остальные переменные фиксированы. Например, если функция ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$ определена в некоторой окрестности точки ${\displaystyle \left(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},\ldots ,x_{n}^{(0)}\right)}$, то частная производная ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\left(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},\ldots ,x_{n}^{(0)}\right)}$ функции ${\displaystyle f}$ по переменной ${\displaystyle x_{1}}$ в рассматриваемой точке равна обычной производной ${\displaystyle {\frac {df}{dx_{1}}}\left(x_{1},x_{2}^{(0)},\ldots ,x_{n}^{(0)}\right)}$ в точке ${\displaystyle x_{1}^{(0)}}$ функции ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}^{(0)},\ldots ,x_{n}^{(0)}\right)}$ одной переменной ${\displaystyle x_{1}}$. Иначе говоря,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\left(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},\ldots ,x_{n}^{(0)}\right)=\left.{\frac {df}{dx_{1}}}\left(x_{1},x_{2}^{(0)},\ldots ,x_{n}^{(0)}\right)\right|_{x_{1}=x_{1}^{(0)}}=}$
${\displaystyle =\lim _{\Delta x_{1}->0}frac{\Delta _{x_{1}}f\left(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},\ldots ,x_{n}^{(0)}\right)}{\Delta x_{1}},}$

где

${\displaystyle \Delta _{x_{1}}f\left(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},\ldots ,x_{n}^{(0)}\right)=}$
${\displaystyle =f\left(x_{1}^{(0)}+\Delta x_{1},x_{2}^{(0)},\ldots ,x_{n}^{(0)}\right)-f\left(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},\ldots ,x_{n}^{(0)}\right).}$

Частные производные

${\displaystyle {\frac {\partial ^{m}}{\partial x_{1}^{m_{1}}\ldots \partial x_{n}^{m_{n}}}},\quad m_{1}+\ldots +m_{n}=m,}$ (*)

порядков ${\displaystyle m>1}$ определяются по индукции: если определена частная производная

${\displaystyle {\frac {\partial ^{k-1}f}{\partial x_{1}^{k_{1}}\ldots \partial x_{i}^{k_{i}}\ldots \partial x_{n}^{k_{n}}}},\quad k_{1}+\ldots +k_{i}+\ldots +k_{n}=k-1}$,

то, по определению,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{1}^{k_{1}}\ldots \partial x_{i}^{k_{i+1}\ldots \partial x_{n}^{k_{n}}}}}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial ^{k-1}f}{\partial x_{1}^{k_{1}}\ldots \partial x_{i}^{k_{i}}\ldots \partial x_{n}^{k_{n}}}}\right)}$.

Частная производная (*) обозначается также ${\displaystyle D_{m_{1},\ldots ,m_{n}}^{m}f}$. Частная производная (*), у которой по крайней мере два различных показателя ${\displaystyle m_{i}}$ не равны нулю, называется смешанной частной производной, в противном случае, т. е. когда частная производная имеет вид ${\displaystyle {\frac {\partial ^{m}f}{\partial x_{i}^{m}}}}$, – несмешанной. При достаточно широких предположениях смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования по различным переменным. Это имеет место, например, если все рассматриваемые частные производные непрерывны.

Если при определении частной производной положить в основу понятие не обычной, а обобщённой в том или ином смысле производной, то получают определение обобщённой частной производной.