Уравнение Лапласа

Уравне́ние Лапла́са, дифференциальное уравнение с частными производными

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}}+\dots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}=0,}$

где ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ – независимые переменные, а ${\displaystyle u=u(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ – искомая функция. При ${\displaystyle n\geqslant 2}$ решения уравнения Лапласа, имеющие непрерывные частные производные до 2-го порядка, называются гармоническими функциями. В трёхмерном случае к уравнению Лапласа приводит ряд задач физики и техники. Например, уравнению Лапласа удовлетворяют температура при стационарных процессах, потенциал электростатического поля в точках пространства, свободных от зарядов, и потенциал поля тяготения в области, не содержащей притягивающих масс. Уравнения Лапласа встречаются у Л. Эйлера (1761) и Ж. Д’Аламбера (1761) в работах, связанных с задачами гидромеханики. Широкую известность уравнение Лапласа получило после появления работ П.-С. Лапласа (1782, 1799) по небесной механике.