Потенциал простого слоя

Потенциа́л просто́го сло́я, выражение вида

${\displaystyle u(x)=\int _{S}h(\mid x-y\mid )f(y)\,d\sigma (y)}$,

где ${\displaystyle S}$ – замкнутая поверхность Ляпунова в евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 2}$, разделяющая ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ на внутреннюю область ${\displaystyle D^{+}}$ и внешнюю ${\displaystyle D^{-}}$; ${\displaystyle f(y)}$ – плотность потенциала, функция, заданная на ${\displaystyle S}$; ${\displaystyle h(\mid x-y\mid )}$ – фундаментальное решение оператора Лапласа:

${\displaystyle h(\mid x-y\mid )=\left\{{\begin{array}{l}{\frac {1}{(n-2)\omega _{N}\mid x-y\mid ^{N-2}}},\quad n\geqslant 3;\\{\frac {1}{2\pi }}\ln {\frac {1}{\mid x-y\mid }},\quad n\geqslant 2;\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \omega _{n}=2\pi ^{n/2}/\Gamma (n/2)}$ – площадь единичной сферы в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \mid x-y\mid }$ – расстояние между точками ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle d\sigma (y)}$ – элемент площади ${\displaystyle S}$.

Если ${\displaystyle f(x)\in C^{(0)}(S)}$, то потенциал простого слоя ${\displaystyle u(x)}$ определён всюду в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Потенциал простого слоя представляет собой частный случай ньютонова потенциала, порождаемого массами, распределёнными на поверхности ${\displaystyle S}$ с поверхностной плотностью ${\displaystyle f(y)}$, и обладает следующими свойствами.

В ${\displaystyle D^{+}}$ и ${\displaystyle D^{-}}$ потенциал простого слоя ${\displaystyle u(x)}$ имеет производные всех порядков, которые можно вычислять под знаком интеграла, и удовлетворяет уравнению Лапласа

${\displaystyle \Delta u(x)=0}$,

т. е. является гармонической функцией. При ${\displaystyle n\geqslant 3}$ эта функция регулярна на бесконечности, ${\displaystyle u(\infty )=0}$. Потенциал простого слоя ${\displaystyle u(x)}$ непрерывен во всём пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. При переходе через поверхность ${\displaystyle S}$ производная по направлению внешней нормали ${\displaystyle n_{0}}$ к ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle y_{0}\in S}$ терпит разрыв. Предельные значения нормальной производной из области ${\displaystyle D^{+}}$ и из области ${\displaystyle D^{-}}$ существуют и непрерывны всюду на ${\displaystyle S}$.