Порядок в математике

Поря́док в математике, термин, имеющий несколько значений.

1. Порядком многочлена ${\displaystyle F(x)}$ называется наивысшая степень ${\displaystyle x}$ в этом многочлене.

2. Порядок алгебраического уравнения ${\displaystyle F(x)=0}$, где ${\displaystyle F(x)}$ – многочлен от ${\displaystyle x}$, называется порядком этого многочлена.

3. Порядком алгебраической кривой ${\displaystyle F(x,y)=0}$, где ${\displaystyle F(x,y)}$ – многочлен от ${\displaystyle x,y}$, называется наивысшая степень членов этого многочлена. Например, эллипс ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ есть кривая второго порядка, а лемниската ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})}$ – кривая четвёртого порядка. Аналогично определяется порядок алгебраической поверхности.

4. Порядок бесконечно малой величины ${\displaystyle \alpha }$ относительно бесконечно малой величины ${\displaystyle \beta }$ – такое число ${\displaystyle n}$, что существует конечный предел, отличный от нуля, отношения ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta ^{n}}}}$. Например, ${\displaystyle \sin ^{2}3x}$ при${\displaystyle x\rightarrow 0}$ есть бесконечно малая второго порядка относительно ${\displaystyle x}$, т. к. ${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin ^{2}3x}{x^{2}}}=9}$. Говорят, что ${\displaystyle \alpha }$ – бесконечно малая высшего порядка, чем ${\displaystyle \beta }$, если предел ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}}$ равен нулю, и низшего порядка, чем ${\displaystyle \beta }$, если отношение${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}}$ стремится к бесконечности. Аналогично определяют порядок бесконечно больших величин.

5. Порядок нуля (соответственно полюса) ${\displaystyle a}$ функции ${\displaystyle f(x)}$ – такое число ${\displaystyle n}$, что существует конечный предел ${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow a}{\frac {f(x)}{(x-a)^{n}}}}$ (соответственно ${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow a}(x-a)^{n}f(x)}$), отличный от нуля.

6. Порядок производной – число дифференцирований, которые нужно провести, чтобы получить эту производную. Например, ${\displaystyle f''}$ – производная второго порядка, а ${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}z}{\partial x\partial y^{3}}}}$ – производная четвёртого порядка.

7. Порядок дифференциального уравнения – наивысший из порядков производных, входящих в уравнение. Например, ${\displaystyle y'''y'-(y'')^{2}=0}$ – уравнение третьего порядка, ${\displaystyle y''-3y'+y=0}$ – уравнение второго порядка.

8. Порядок квадратной матрицы – число её строк (равное числу столбцов).

9. Порядок конечной группы – число её элементов. Если число элементов группы бесконечно, то говорят о группе бесконечного порядка. Порядок элемента группы – целое положительное число, равное числу элементов в порождаемой этим элементом циклической подгруппе, если эта подгруппа конечна. Если эта подгруппа бесконечна, то говорят об элементе бесконечного порядка. Если порядок элемента конечен и равен ${\displaystyle n}$, то ${\displaystyle n}$ является наименьшим из чисел, для которых ${\displaystyle a^{n}=1}$.

10. Порядок целой функции ${\displaystyle f(z)}$ – нижняя грань значений ${\displaystyle a}$, для которых отношение ${\displaystyle {\frac {\mid f(z)\mid }{e^{{\mid z\mid }^{2}}}}}$ ограничено.

11. Если при некотором исследовании или вычислении отбрасываются все степени некоторой малой величины, начиная с ${\displaystyle (n+1)}$-й, то говорят, что исследование или вычисление ведётся с точностью до величин ${\displaystyle n}$-го порядка. Например, при исследовании малых колебаний струны пренебрегают величинами, содержащими вторые и высшие степени прогиба и его производных, получая благодаря этому линейное уравнение (линеаризуя задачу).

12. Слово «порядок» употребляется также в исчислении конечных разностей (разности различных порядков), в теории специальных функций (например, цилиндрические функции ${\displaystyle n}$-го порядка) и др.

13. Говорят, что величина имеет порядок ${\displaystyle 10^{n}}$, если она заключена между ${\displaystyle 0,5\cdot 10^{n}}$ и ${\displaystyle 5\cdot 10^{n}}$.

14. Говорят, что величина ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle n}$ порядков больше величины ${\displaystyle y}$, если ${\displaystyle x\approx y\cdot 10^{n}}$.