Алгебраическая кривая

Алгебраи́ческая крива́я, кривая, задаваемая в декартовых координатах алгебраическим уравнением, в общем случае – алгебраическое многообразие размерности 1. Простейшими примерами алгебраической кривой являются аффинные и проективные прямые и кривые 2-го порядка. Плоская алгебраическая кривая задаётся одним алгебраическим уравнением

${\displaystyle F(x,y)=0}$

на аффинной плоскости ${\displaystyle {\bf {A}}_{k}^{2}}$ или одним однородным алгебраическим уравнением

${\displaystyle \Phi (x_{0},x_{1},x_{2})=0}$

на проективной плоскости ${\displaystyle {\bf {P}}_{k}^{2}}$ над некоторым полем ${\displaystyle k}$. Степень многочленов ${\displaystyle F(x,y)}$ и ${\displaystyle \Phi (x_{0},x_{1},x_{2})}$ называется степенью (или порядком) соответствующей алгебраической кривой. Существуют аффинные и проективные кривые в пространствах любой размерности, не изоморфные плоским кривым.

В алгебраической геометрии изучаются в основном неособые проективные алгебраические кривые над алгебраически замкнутым основным полем. Основной задачей для алгебраических кривых является их бирациональная классификация. В каждом бирациональном классе существует единственная (с точностью до изоморфизма) полная неособая кривая. Она может быть изоморфно вложена (различными способами) в проективные пространства. Единственным дискретным бирациональным инвариантом алгебраической кривой ${\displaystyle X}$ является её род ${\displaystyle g=g(X)}$. Он равен размерности пространства регулярных дифференциальных форм на ${\displaystyle X}$ и принимает любые неотрицательные целые значения. Значение ${\displaystyle g=0}$ характеризует рациональные кривые: это кривые, накрываемые проективной прямой ${\displaystyle {\bf {P}}_{k}^{1}}$. Кривые рода ${\displaystyle g=1}$ называются эллиптическими кривыми. С точностью до изоморфизма они параметризуются аффинной прямой ${\displaystyle {\bf {A}}_{k}^{1}}$. Классы изоморфизмов всех кривых фиксированного рода ${\displaystyle g\geqslant 2}$ образуют неприводимое алгебраическое многообразие ${\displaystyle M_{3g-3}}$ размерности ${\displaystyle 3g-3}$, называемое многообразием модулей.

Для всякой кривой рода ${\displaystyle g\geqslant 2}$ определено каноническое отображение её в проективное пространство ${\displaystyle {\bf {P}}_{k}^{g-1}}$ размерности ${\displaystyle g-1}$. В случае, когда оно является изоморфным вложением (и тогда его образ – кривая степени ${\displaystyle 2g-2}$), алгебраическая кривая называется канонической, в противном случае она называется гиперэллиптической. Гиперэллиптическая кривая рода ${\displaystyle g\geqslant 2}$ может быть задана аффинным уравнением вида ${\displaystyle y^{2}=P(x)}$, где ${\displaystyle P(x)}$ – многочлен степени ${\displaystyle 2g+2}$ без кратных корней.

Теория алгебраических кривых возникла в конце 18 в. как теория эллиптических кривых, точнее, эллиптических интегралов над полем комплексных чисел ${\displaystyle {\bf {C}}}$. Н. Х. Абель в 1826 г. рассмотрел более общие интегралы, названные впоследствии абелевыми интегралами, и заложил основы общей теории алгебраических кривых над полем ${\displaystyle {\bf {C}}}$.

Н. Абель и К. Якоби построили также отображение алгебраической кривой в комплексный тор, вложение которого в проективное пространство при помощи тэта-функций задаёт на нём структуру проективного алгебраического многообразия, называемого якобиевым многообразием или якобианом кривой ${\displaystyle X}$. Теория якобианов алгебраических кривых над произвольными полями была развита в 1940-х гг. в работах А. Вейля.

Изучая алгебраические функции комплексного переменного, Б. Риман в 1851 г. ввёл понятие, называемое теперь римановой поверхностью (одномерным комплексным многообразием), и положил начало изучению топологии комплексных алгебраических кривых. Был выяснен топологический смысл рода как числа ручек соответствующей компактной римановой поверхности. Риманова поверхность для ${\displaystyle {\bf {P}}}_{\bf {C}}^{3}$ – это сфера Римана, для эллиптической кривой – одномерный комплексный.

О связи алгебраической кривой и автоморфных функций см. в ст. Автоморфная функция. В современной теории изучаются также арифметические свойства алгебраической кривой над конечными и числовыми полями.