Положительное расслоение

Положи́тельное расслое́ние, обобщение понятия дивизора положительной степени на римановой поверхности. Голоморфное векторное расслоение ${\displaystyle E}$ над комплексным пространством ${\displaystyle X}$ называется положительным (обозначается ${\displaystyle E>0}$), если в ${\displaystyle E}$ существует такая эрмитова метрика ${\displaystyle h}$, что функция

${\displaystyle v\longmapsto -h(v,v)}$

на ${\displaystyle E}$ строго псевдовыпукла вне нулевого сечения. Если ${\displaystyle X}$ – многообразие, то условие положительности выражается в терминах кривизны метрики ${\displaystyle h}$. А именно, форме кривизны метрики ${\displaystyle h}$ в расслоении ${\displaystyle E}$ отвечает эрмитова квадратичная форма ${\displaystyle \Omega }$ на ${\displaystyle X}$ со значениями в расслоении ${\displaystyle \operatorname {Herm} E}$ эрмитовых эндоморфизмов расслоения ${\displaystyle E}$. Условие положительности эквивалентно тому, что ${\displaystyle \Omega _{x}(u)}$ – положительно определённый оператор в ${\displaystyle E_{x}}$ для любого ${\displaystyle x\in X}$ и любого ненулевого ${\displaystyle u\in T_{X,x}}$.

В случае, когда ${\displaystyle E}$ – расслоение на комплексные прямые над многообразием ${\displaystyle X,}$ условие положительности равносильно положительной определённости матрицы

${\displaystyle \left\|-{\frac {\partial ^{2}\log h}{\partial z_{\alpha }{\bar {z}}_{\beta }}}\right\|,}$

где ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ – локальные координаты на ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle h>0}$ – функция, задающая эрмитову метрику при локальной тривиализации расслоения. Если ${\displaystyle X}$ компактно, то расслоение на комплексные прямые ${\displaystyle E}$ над ${\displaystyle X}$ положительно тогда и только тогда, когда класс Чжэня ${\displaystyle c_{1}(E)}$ содержит замкнутую форму вида

${\displaystyle i\sum _{\alpha ,\beta }\varphi _{\alpha \beta }dz_{\alpha }\wedge d{\bar {z}}_{\beta },}$

где ${\displaystyle \|\varphi \alpha \beta \|}$ – положительно определённая эрмитова матрица. В частности, если ${\displaystyle X}$ – риманова поверхность, то расслоение над ${\displaystyle X}$, определяемое дивизором степени ${\displaystyle d}$, положительно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle d>0}$. В случае, когда ${\displaystyle E}$ – расслоение ранга ${\displaystyle >1}$ над многообразием ${\displaystyle X}$ размерности ${\displaystyle >1}$, рассматривается также следующий более узкий класс положительного расслоения: расслоение ${\displaystyle E\rightarrow X}$ называется положительным в смысле Накано, если на ${\displaystyle E}$ существует такая эрмитова метрика ${\displaystyle h}$, что эрмитова квадратичная форма ${\displaystyle H}$ на расслоении ${\displaystyle E\otimes T_{X}}$, заданная формулой

${\displaystyle H_{x}(v\otimes u)=h_{x}\left(v,\Omega _{x}(u)v\right),}$

где ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle v\in E_{x}}$, ${\displaystyle u\in T_{X,x}}$, положительно определена. Примеры: касательное расслоение ${\displaystyle T_{P_{n}}}$ к проективному пространству ${\displaystyle P^{n}}$ положительно, но при ${\displaystyle n>1}$ не является положительным в смысле Накано; расслоение на комплексные прямые над ${\displaystyle P^{n}}$, определяемое гиперплоскостью, положительно.

Любое факторрасслоение положительного векторного расслоения положительно. Если ${\displaystyle E^{\prime }}$, ${\displaystyle E^{\prime \prime }}$ – положительные (положительные в смысле Накано) расслоения, то ${\displaystyle E^{\prime }\oplus E^{\prime \prime }}$ и ${\displaystyle E^{\prime }\otimes E^{\prime \prime }}$ положительны (положительны в смысле Накано).

Понятие «положительное расслоение» было введено в связи с теоремой Кодаиры об обращении в нуль для случая расслоений на комплексные прямые, а затем обобщено на произвольные расслоения. Несколько позже, в связи с вопросом о существовании вложения в проективное пространство, были выделены понятия слабоположительного и слабоотрицательного расслоений.

Голоморфное векторное расслоение ${\displaystyle E}$ над компактным комплексным пространством ${\displaystyle X}$ называется слабоотрицательным, если его нулевое сечение обладает строго псевдовыпуклой окрестностью в ${\displaystyle E}$, т. е. является исключительным аналитическим множеством. Расслоение ${\displaystyle E}$ называется слабоположительным, если сопряжённое расслоение ${\displaystyle E^{*}}$ слабоотрицательно. В случае, когда ${\displaystyle X}$ – риманова поверхность, понятия слабоположительного и положительного расслоений совпадают (Umemura. 1973^[1]).

Слабая положительность расслоения ${\displaystyle E\rightarrow X}$ равносильна каждому из следующих свойств: для любого когерентного аналитического пучка ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ на ${\displaystyle X}$ существует такое ${\displaystyle m_{0}>0}$, что пучок ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes S^{m}{\mathcal {E}}}$ при ${\displaystyle m\geqslant m_{0}}$ порождаетcя глобальными сечениями; для любого когерентного аналитического пучка ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ на ${\displaystyle X}$ существует такое ${\displaystyle m\geqslant 0}$, что

${\displaystyle H^{q}\left(X,{\mathcal {F}}\otimes S^{m}{\mathcal {E}}\right)=0}$

для всех ${\displaystyle q\geqslant 1}$ (Онищик. 1977^[2], Schneider. 1978^[3]). Через ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ здесь обозначается пучок ростков голоморфных сечений расслоения ${\displaystyle E}$. Слабоположительные расслоения аналогичны, таким образом, обильным векторным расслоениям из алгебраической геометрии и иногда называются обильными аналитическими расслоениями. Слабоположительное расслоение над пространством ${\displaystyle X}$ естественным образом определяет вложение пространства ${\displaystyle X}$ в многообразие Грассмана и тем самым в проективное пространство.

Понятия положительного, отрицательного, слабоположительного и слабоотрицательного расслоений естественным образом обобщаются также на случай линейных пространств над комплексным пространством ${\displaystyle X}$ (см. в статье Векторное аналитическое расслоение).

См. также Отрицательное расслоение.