Неравенства

Нера́венства (в математике), отношения, связывающие два числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ посредством одного из знаков: ${\displaystyle <}$ (меньше), ${\displaystyle \leq }$ (меньше или равно), ${\displaystyle >}$ (больше), ${\displaystyle \geq }$ (больше или равно), ${\displaystyle \neq }$ (не равно), т. е.

${\displaystyle a<b,\;a\leqslant b,\;a>b,\;a\geqslant b,\;a\neq b}$.

Иногда несколько неравенств записывают вместе, например ${\displaystyle a<b<c}$.

Неравенства обладают многими свойствами, общими с равенствами. Так, неравенство остаётся справедливым, если к его обеим частям добавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число. Точно так же можно умножить обе части неравенства на одно и то же положительное число. Однако если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то смысл неравенства (кроме неравенства ${\displaystyle \neq }$) изменится на противоположный (знак ${\displaystyle <}$ заменяется на ${\displaystyle >}$, а знак ${\displaystyle >}$ – на ${\displaystyle <}$). Члены неравенства можно переносить из одной части в другую с изменением знака, например неравенство ${\displaystyle a+b<c}$ эквивалентно неравенству ${\displaystyle a<c-b}$. Из неравенства ${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle c<d}$ следует ${\displaystyle a+c<b+d}$ и ${\displaystyle a-d<b-c}$, т. е. одноимённые неравенства (${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle c<d}$) можно почленно складывать, а разноимённые неравенства (${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle d>c}$) – почленно вычитать. Если числа ${\displaystyle a,b,c}$ и ${\displaystyle d}$ положительны, то из неравенств ${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle c<d}$ следует также ${\displaystyle ac<bd}$ и ${\displaystyle {a}/{d}<{b}/{c}}$, т. е. одноимённые неравенства (между положительными числами) можно почленно перемножать, а разноимённые – почленно делить.

Неравенства, в которые входят величины, принимающие различные числовые значения, могут быть верны для одних значений этих величин и неверны для других. Так, неравенство ${\displaystyle x^{2}-4x+3>0}$ верно при ${\displaystyle x=4}$ и неверно при ${\displaystyle x=2}$. Для неравенств этого типа возникает вопрос об их решении, т. е. об определении границ, в которых следует брать входящие в неравенства величины для того, чтобы неравенства были справедливы. Так, переписывая неравенство ${\displaystyle x^{2}-4x+3>0}$ в виде ${\displaystyle (x-1)(x-3)>0}$, можно заметить, что оно будет верно для всех ${\displaystyle x}$, для которых либо ${\displaystyle x<1}$, либо ${\displaystyle x>3}$; эти неравенства и являются решением исходного неравенства.

Ниже приводятся одни из самых известных неравенств.

Неравенство для модулей. Для любых действительных или комплексных чисел ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ справедливо неравенство

${\displaystyle |a_{1}+a_{2}+...+a_{n}|\leqslant |a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|}$.

Неравенства для средних. Наиболее известны неравенства, связывающие гармоническое, геометрическое, арифметическое и квадратичное средние:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {n}{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+\dots +a_{n}^{-1}}}&\leq {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\dots a_{n}}}\leq {\frac {a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}}{n}}\\&\leq {\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dots +a_{n}^{2}}{n}}};\end{aligned}}}$

здесь все числа ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ положительны.

Неравенства для сумм и их интегральные аналоги. Таковы, например, неравенство Буняковского, неравенство Гёльдера, неравенство Коши, неравенство Минковского.

Неравенства для некоторых классов последовательностей и функций. Примером может служить неравенство Чебышёва для монотонных числовых последовательностей и функций.

В линейном программировании ограничения на неизвестные ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ часто задаются в виде системы неравенств

${\displaystyle a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+\ldots +a_{in}x_{n}\leqslant b_{i},\quad i=1,2,...,m}$.

Неравенства имеют существенное значение для всех разделов математики. В теории чисел целый раздел этой дисциплины – диофантовы приближения – полностью основан на неравенствах, аналитическая теория чисел тоже часто оперирует с неравенствами. В геометрии неравенства постоянно встречаются в теории выпуклых тел и в изопериметрической задаче (см. Изопериметрическое неравенство). В теории вероятностей многие утверждения формулируются с помощью неравенств (например, неравенство Чебышёва для вероятности отклонения случайной величины от её математического ожидания). В функциональном анализе определение нормы в линейном пространстве включает условие ${\displaystyle \left\|x+y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|}$, которое иногда называют аксиомой треугольника. В вычислительной математике неравенства применяются для оценки погрешности приближённого решения задачи.