Неравенство Чебышёва

Нера́венство Чебышёва, 1) неравенство для монотонных последовательностей и функций. Неравенство Чебышёва для конечных последовательностей ${\displaystyle a_{1}\leqslant a_{2}\leqslant ...\leqslant a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{1}\leqslant b_{2}\leqslant ...\leqslant b_{n}}$ или ${\displaystyle a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant ...\geqslant a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant ...\geqslant b_{n}}$ имеет вид (${\displaystyle a_{n}\geqslant 0}$, ${\displaystyle b_{n}\geqslant 0}$)

${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)\leqslant n\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}}$ (1).

В интегральной форме неравенство Чебышёва имеет вид

${\displaystyle \left(\int _{a}^{b}f(x)dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)dx\right)\leqslant (a-b)\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx,}$ (2)

где ${\displaystyle f(x)\geqslant 0,\ g(x)\geqslant 0}$ и обе функции либо убывают, либо возрастают. Если одна последовательность (функция) убывает, а другая последовательность (функция) возрастает, то знак неравенства в (1) и (2) меняется на противоположный. Неравенства установлены П. Л. Чебышёвым (1882).

2) Неравенство Чебышёва для вероятности отклонения случайной величины от своего математического ожидания (неравенство Бьенеме – Чебышёва), состоит в том, что для любого ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle {\mathsf {P}}(\mid X-a\mid \geqslant \epsilon )\leqslant {\frac {\sigma ^{2}}{\epsilon ^{2}}}}$,

или, что то же самое, для любого ${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle {\mathsf {P}}(\mid X-a\mid \geqslant t\sigma )\leqslant {\frac {1}{t^{2}}}}$,

где ${\displaystyle X}$ – случайная величина с математическим ожиданием ${\displaystyle {\mathsf {E}}X=a}$ и дисперсией ${\displaystyle {\mathsf {D}}X=\sigma ^{2}}$. Это неравенство было независимо открыто французским математиком И.-Ж. Бьенеме (1853) и П. Л. Чебышёвым (1867). В современной литературе оно чаще называется «неравенство Чебышёва», возможно, потому, что с именем Чебышёва связано его использование при доказательстве закона больших чисел. При некоторых дополнительных ограничениях точность неравенства Чебышёва может быть увеличена: степенная оценка ${\displaystyle 1/t^{2}}$ может быть заменена показательной оценкой ${\displaystyle 2e^{-t^{2}/4}}$, убывающей с ростом ${\displaystyle t}$ значительно быстрее.