Неравенство Минковского

Нера́венство Минко́вского, неравенство

${\displaystyle \left[\sum _{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})^{p}\right]^{1/p}\leqslant \left[\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{1/p}+\left[\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{p}\right]^{1/p}}$,

где ${\displaystyle a_{k}}$ и ${\displaystyle b_{k}}$, ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$ – неотрицательные числа, ${\displaystyle n}$ – натуральное число и ${\displaystyle p>1}$. Установлено Г. Минковским (1896). Известны аналоги этого неравенства, их также называют неравенствами Минковского. Например, справедливо неравенство Минковского для интегралов, где ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ – неотрицательные функции, заданные на интервале ${\displaystyle (a,b)}$, ${\displaystyle -\infty <a<b<\infty }$, ${\displaystyle p>1}$.

Если ${\displaystyle x,y}$ – элементы нормированного пространства (которые обычно называют векторами) с нормой ${\displaystyle }$
${\displaystyle mid\cdot }$
${\displaystyle mid}$, то неравенство Минковского имеет вид

${\displaystyle }$
${\displaystyle midx+y}$
${\displaystyle mid\leqslant }$
${\displaystyle midx}$
${\displaystyle mid+}$
${\displaystyle midy}$
${\displaystyle mid}$.

Так как норму вектора часто называют его длиной, то последнее неравенство означает, что длина стороны треугольника не превышает суммы длин двух других его сторон. Поэтому неравенство Минковского называют также неравенством треугольника.