Неравенство Гёльдера

Нера́венство Гёльдера, неравенство

${\displaystyle \mid a_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}b_{n}\mid \leqslant (\mid a_{1}\mid ^{p}+\ldots +\mid a_{n}\mid ^{p})^{1/p}(\mid b_{1}\mid ^{q}+\ldots +\mid b_{n}\mid ^{q})^{1/q}}$,

для произвольных действительных или комплексных чисел ${\displaystyle a_{k}}$, ${\displaystyle b_{k}}$, ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$, где ${\displaystyle p>1}$ и ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$. Имеют место аналоги неравенства Гёльдера для рядов

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}b_{k}\right|\leqslant \left(\sum _{k=1}^{\infty }\mid a_{k}\mid ^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{\infty }\mid b_{k}\mid ^{q}\right)^{1/q}}$

и интегралов

${\displaystyle \left|\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx\right|\leqslant \left(\int \limits _{a}^{b}\mid f(x)\mid ^{p}dx\right)^{1/p}\left(\int \limits _{a}^{b}\mid g(x)\mid ^{q}dx\right)^{1/q}}$,

если ряды и интегралы в правых частях неравенств сходятся. Неравенство Гёльдера установлено немецким математиком О. Гёльдером (1889). При ${\displaystyle p=q=2}$ неравенство Гёльдера для конечных сумм и рядов превращается в неравенство Коши, а для интегралов – в неравенство Буняковского. Неравенство Гёльдера допускает значительные обобщения, например, оно справедливо и для кратных интегралов. Неравенство Гёльдера является одним из неравенств, часто используемых в математическом анализе.