Неравенство Коши

Нера́венство Коши́, неравенство

${\displaystyle \left|a_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}b_{n}\right|^{2}\leqslant (\mid a_{1}\mid ^{2}+\ldots +\mid a_{n}\mid ^{2})(\mid b_{1}\mid ^{2}+\ldots +\mid b_{n}\mid ^{2})}$

для произвольных действительных или комплексных чисел ${\displaystyle a_{k}}$, ${\displaystyle b_{k},k=1,\ldots ,n}$, установлено О. Коши (1821). Справедливо также неравенство для рядов

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}b_{k}\right|^{2}\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }\left|a_{k}\right|^{2}\sum _{k=1}^{\infty }\left|b_{k}\right|^{2}}$,

если ряды в его правой части сходятся. Это неравенство также называют неравенством Коши.

Аналогом неравенства Коши для интегралов является неравенство Буняковского. И неравенство Коши, и неравенство Буняковского часто называют неравенством Коши – Буняковского. Одно из важнейших обобщений неравенства Коши – неравенство Гёльдера.