Правило Крамера

Пра́вило Кра́мера, метод решения системы линейных алгебраических уравнений, имеющей единственное решение, с помощью определителей. Назван именем швейцарского математика Г. Крамера.

Метод Крамера применим для решения системы ${\displaystyle n}$ линейных уравнений с ${\displaystyle n}$ неизвестными

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+&\ldots &+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&+&\ldots &+a_{2n}x_{n}=b_{2},\&\ldots \ldots \\a_{n1}x_{1}&+a_{n2}x_{2}&+&\ldots &+a_{nn}x_{n}=b_{n}.\end{aligned}}\right.}$.

Матрица ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}}$ называется матрицей системы, вектор-столбец ${\displaystyle {\bar {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\ldots \\b_{n}\end{pmatrix}}}$ – вектором-столбцом правых частей, вектор-столбец ${\displaystyle {\bar {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\ldots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$ – вектором-столбцом неизвестных.

Если определитель матрицы ${\displaystyle A}$ не равен нулю, т. е. ${\displaystyle \Delta =\det A\neq 0}$, то система имеет единственное решение, которое находится согласно правилу Крамера по следующим формулам:

${\displaystyle x_{1}={\frac {\Delta _{1}}{\Delta _{}}},\quad x_{2}={\frac {\Delta _{2}}{\Delta _{}}},\quad \,\ldots ,\quad x_{n}={\frac {\Delta _{n}}{\Delta _{}}},}$ (1)

где ${\displaystyle \Delta _{i},\ i=1,2,\ldots ,n}$, – определитель, который получается из определителя ${\displaystyle \Delta }$ заменой столбца с номером ${\displaystyle i}$ на вектор-столбец ${\displaystyle {\bar {b}}}$.

В частности, для решения системы линейных алгебраических уравнений

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&+a_{23}x_{3}=b_{2}\\a_{31}x_{1}&+a_{32}x_{2}&+a_{33}x_{3}=b_{3}\end{aligned}}\right.}$.

необходимо вычислить определители

${\displaystyle \Delta ={\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}},}$
${\displaystyle Delta_{1}={\begin{matrix}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}},\quad \Delta _{2}={\begin{matrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}\\\end{matrix}},\quad \Delta _{3}={\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&b_{3}\\\end{matrix}}}$

и при ${\displaystyle \Delta \neq 0}$ найти решение по формулам

${\displaystyle x_{1}={\frac {\Delta _{1}}{\Delta _{}}},\quad x_{2}={\frac {\Delta _{2}}{\Delta _{}}},\quad x_{3}={\frac {\Delta _{3}}{\Delta _{}}}}$.

Если определитель матрицы системы ${\displaystyle \Delta =0}$, то правило Крамера неприменимо.

При использовании метода Крамера для решения системы ${\displaystyle n}$ линейных уравнений с ${\displaystyle n}$ неизвестными необходимо вычислить ${\displaystyle n+1}$ определитель размерности ${\displaystyle n\times \ n}$, что требует больших вычислительных затрат, поэтому для систем большой размерности формулы Крамера не применяются. В общем случае правило Крамера может быть использовано не для вычисления решения по формулам (1), а для доказательства существования и единственности решения системы, у которой число неизвестных равно числу уравнений: если определитель матрицы системы ${\displaystyle \Delta \neq 0}$, то система имеет единственное решение.