Функционально замкнутое множество

Функциона́льно за́мкнутое мно́жество (нуль-множество; англ. zero-set), подмножество топологического пространства, являющееся множеством нулей некоторой непрерывной функции на нём. Более точно, подмножество ${\displaystyle A}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ называется функционально замкнутым в нём, если ${\displaystyle A=f^{-1}(0)}$ для некоторой непрерывной функции ${\displaystyle f\colon X\to [0,1]}$. Функционально замкнутое в ${\displaystyle X}$ множество является замкнутым ${\displaystyle G_{\delta }}$-множеством в ${\displaystyle X}$; объединение конечного числа и пересечение счётного числа функционально замкнутых множеств – функционально замкнутые множества. Прообраз ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ функционально замкнутого множества ${\displaystyle B\subset Y}$ при непрерывном отображении ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ – функционально замкнутое в ${\displaystyle X}$ множество.