Функция множеств

Фу́нкция мно́жеств, отображение ${\displaystyle f}$ некоторой совокупности ${\displaystyle \Sigma }$ подмножеств данного множества ${\displaystyle X}$ в другое множество, обычно в множество ${\displaystyle \mathbb {R} }$ действительных или ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексных чисел. Важным классом функций множеств являются аддитивные функции множеств, для которых

${\displaystyle f\left(\bigcup _{i=1}^{n}M_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}f\left(M_{i}\right),}$
${\displaystyle M_{i}\in \Sigma ,\quad M_{i}\cap M_{j}=\varnothing ,\quad i\neq j,}$ (*)

и ${\displaystyle \sigma }$-аддитивные функции множеств, которые удовлетворяют равенству (*) и для счётной совокупности множеств. Если ${\displaystyle f}$ принимает лишь неотрицательные значения, ${\displaystyle R(\varnothing )=0}$ и ${\displaystyle \Sigma }$ является ${\displaystyle \sigma }$-алгеброй, то такая функция называется мерой.