Аппроксимативная производная

Аппроксимати́вная произво́дная, обобщение понятия производной, в котором обычный предел заменяется аппроксимативным пределом. Если для функции ${\displaystyle f(x)}$ действительного переменного ${\displaystyle x}$ существует

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}\mathrm {ap} \,{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$,

то он называется аппроксимативной производной функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и обозначается ${\displaystyle f'_{\mathrm {ap} }(x_{0})}$. В простейшем случае ${\displaystyle f(x)}$ есть действительная функция (в более общем случае – вектор-функция). Аппроксимативная производная может быть как конечной, так и бесконечной. Для конечной аппроксимативной производной справедливы классические правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций; теорема о дифференцировании сложной функции, вообще говоря, не имеет места. Понятие аппроксимативной производной введено А. Я. Хинчиным в 1916 г.

По аналогии с обычными производными числами определяются аппроксимативные производные числа: ${\displaystyle \Lambda _{d}(x_{0})}$ – верхнее правое, ${\displaystyle \lambda _{d}(x_{0})}$ – нижнее правое, ${\displaystyle \Lambda _{g}(x_{0})}$ – верхнее левое, ${\displaystyle \lambda _{g}(x_{0})}$ – нижнее левое; например,

${\displaystyle \Lambda _{d}(x_{0})=\mathop {\overline {\mathrm {lim} }} \limits _{\begin{smallmatrix}x\to x_{0}\\x>x_{0}\end{smallmatrix}}\mathrm {ap} \,{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$.

Справедливы следующие теоремы Данжуа – Xинчина. Если действительная функция ${\displaystyle f(x)}$ конечна и измерима по Лебегу на множестве ${\displaystyle E}$, то почти в каждой точке этого множества либо ${\displaystyle f(x)}$ имеет конечную аппроксимативную производную, либо

${\displaystyle \Lambda _{d}(x_{0})=\Lambda _{g}(x_{0})=+\infty ,\quad \lambda _{d}(x_{0})=\lambda _{g}(x_{0})=-\infty }$.

Если

${\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt}$

– интеграл в смысле Данжуа – Хинчина, то ${\displaystyle F'_{\mathrm {ap} }(x)=f(x)}$ почти всюду в рассматриваемом промежутке (при этом обычная производная может не существовать на множестве положительной меры). Эта теорема объясняет роль аппроксимативной производной в теории интеграла.

Существуют непрерывные функции, не имеющие ни обычной, ни аппроксимативной производной во всех точках произвольно заданного промежутка.

Для функций нескольких действительных переменных рассматриваются аппроксимативные частные производные.