Касательная

Каса́тельная к кривой линии, прямая, представляющая собой предельное положение секущей. Пусть ${\displaystyle M}$ – точка кривой ${\displaystyle L}$ (рис. 1). На ${\displaystyle L}$ выбирается вторая точка ${\displaystyle M'}$, и через них проводится секущая ${\displaystyle l'}$. Точка ${\displaystyle M}$ считается неподвижной, а точка ${\displaystyle M'}$ приближается к ${\displaystyle M}$ по кривой ${\displaystyle L}$.

Если при неограниченном приближении ${\displaystyle M'}$ к ${\displaystyle M}$ секущие ${\displaystyle l'}$ стремятся к определённой прямой ${\displaystyle l}$, как бы ${\displaystyle M'}$ не приближалась к ${\displaystyle M}$, то ${\displaystyle l}$ называется касательной к кривой ${\displaystyle L}$ в точке ${\displaystyle M}$. Не у всякой непрерывной кривой имеются касательные в каждой точке ${\displaystyle M}$, поскольку секущие могут не стремиться к предельному положению или могут стремиться к двум разным предельным положениям, когда ${\displaystyle M'}$ приближается к ${\displaystyle M}$ с разных сторон (рис. 2).

Встречающиеся в элементарной геометрии кривые имеют вполне определённые касательные во всех точках, кроме некоторого числа особых точек. Если кривая на плоскости в прямоугольных координатах определяется уравнением ${\displaystyle y=f(x)}$ и ${\displaystyle f(x)}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle x_{0}}$, то кривая имеет касательную в точке ${\displaystyle (x_{0},f'(x_{0}))}$ и угловой коэффициент касательной в этой точке равен значению производной ${\displaystyle f'(x_{0})}$; уравнение касательной в этой точке имеет вид

${\displaystyle y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0})}$.

Касательной (прямой) к поверхности ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle M}$ называют любую прямую, проходящую через точку ${\displaystyle M}$ и лежащую в касательной плоскости к ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle M}$.