Гипергеометрическая функция

Гипергеометри́ческая фу́нкция, аналитическая функция ${\displaystyle F}$, которая является решением гипергеометрического уравнения

${\displaystyle z(1-z)F''+(\gamma -(\alpha +\beta +1)z)F'-\alpha \beta F=0}$,

где ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$ – параметры, которые могут принимать комплексные значения, ${\displaystyle z}$ – комплексная переменная. Гипергеометрическая функция может быть записана в виде гипергеометрического ряда

${\displaystyle F(\alpha ,\beta ,\gamma ;z)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\alpha (\alpha +1)\ldots (\alpha +n-1)}{\gamma (\gamma +1)\ldots (\gamma +n-1)}}\beta (\beta +1)\ldots (\beta +n-1){\frac {z^{n}}{n!}}}$,

который иногда называют рядом Гаусса. Этот ряд сходится при ${\displaystyle \mid z\mid <1}$, здесь предполагается, что ${\displaystyle \gamma }$ не равно нулю или целому отрицательному числу. Если ${\displaystyle {\text{Re}}\,\gamma >{\text{Re}}\,\beta >0}$ и ${\displaystyle \mid \arg(1-z)\mid <\pi }$, то для гипергеометрической функции справедлива формула Эйлера

${\displaystyle F(\alpha ,\beta ,\gamma ;z)={\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\beta )\Gamma (\gamma -\beta )}}\int _{0}^{1}t^{\beta -1}(1-t)^{\gamma -\beta -1}(1-tz)^{-\alpha }\,dt}$,

где ${\displaystyle \Gamma }$ – гамма-функция. Через гипергеометрическую функцию выражаются многие элементарные функции, например

${\displaystyle (1+z)^{n}=F(-n,1,1;-z),}$
${\displaystyle \ln(1+z)=zF(1,1,2;-z),}$
${\displaystyle {\text{arcsin}}\,z=zF\left({1 \over 2},{1 \over 2},{3 \over 2};z^{2}\right)}$,

и многие специальные функции.

Гипергеометрический ряд был впервые рассмотрен Л. Эйлером (1778). Теория этих рядов была развита К. Ф. Гауссом (1812).