Асимптотический ряд

Асимптоти́ческий ряд, ряд

${\displaystyle a_{0}(x)+a_{1}(x)+\ldots +a_{n}(x)+\ldots }$,

составленный из функций переменной ${\displaystyle x}$ таких, что при заданном изменении ${\displaystyle x}$ (например, при ${\displaystyle x\rightarrow 0}$ или при ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$) каждый следующий член этого ряда есть бесконечно малая величина относительно предыдущего члена, т. е. ${\displaystyle a_{n+1}(x)=o(a_{n}(x)),n=0,1,\ldots }$ .

Такой ряд называется асимптотическим разложением функции ${\displaystyle a(x)}$ при ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$, если для любого ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$

${\displaystyle a(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)+o(a_{n}(x))}$

при ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$. В этом случае пишут ${\displaystyle \displaystyle a(x)\simeq \sum \limits _{k=0}^{\infty }a_{k}(x)}$. Наряду с символом ${\displaystyle \simeq }$ употребляется также символ ${\displaystyle \sim }$.

Примером асимптотического разложения является формула Тейлора

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k\ !}}f^{(k)}(x_{0})(x-x_{0})^{k}+o((x-x_{0})^{n})}$,

где ${\displaystyle f^{(0)}(x)=f(x),f^{(k)}(x)}$ – ${\displaystyle k}$-я производная функции ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$, которая даёт степенное асимптотическое разложение

${\displaystyle f(x)\simeq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k\ !}}f^{(k)}(x_{0})(x-x_{0})^{k}}$

гладкой функции ${\displaystyle f(x)}$ при ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$.

Асимптотический ряд не обязательно сходится. Например, ряд ${\displaystyle 1-1!x+2!x^{2}-3!x^{3}+\ldots }$ является асимптотическим рядом при ${\displaystyle x\rightarrow 0}$, но расходится при каждом ${\displaystyle x\neq 0}$; ряд с общим членом ${\displaystyle a_{n}=n!t^{-n}\exp t^{2}}$ является асимптотическим рядом при ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$, хотя всюду расходится, а его члены суть бесконечно большие при ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$. В отличие от случая сходящихся рядов, где рассматривается абсолютная погрешность приближения, в асимптотических разложениях важна относительная погрешность.

Асимптотические ряды, как и сходящиеся ряды, широко используются как в самой математике, так и в её естественно-научных приложениях. Частичная сумма ряда обычно даёт удобное приближение исследуемой функции. Асимптотические ряды и разложения часто возникают при наличии в задаче малого или большого параметра.

Отдельные асимптотические разложения использовались в 18 в. Строгое понятие асимптотического ряда введено А. Пуанкаре (1886) в связи с задачами небесной механики.